AGS ÖABT İlköğretim Matematik Konu Anlatımı ve Çözümlü Sorular
📐 AGS-ÖABT İlköğretim Matematik
Konu Anlatımı ve Çözümlü Sorular
Analiz • Cebir • Geometri • Uygulamalı Matematik
📌 AGS-ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KONULARI (Hızlı Menü)
📊 AGS-ÖABT Sınav Formatı
AGS (12 Temmuz 2026, 110 dk, 80 soru) + ÖABT (12 Temmuz 2026, 70 dk, 50 soru)
📈 Analiz %36
📖 ÖĞRETMEN NOTU – Analiz (EKSİKSİZ)
🔢 SAYILAR VE İŞLEMLER (Temel Matematik – Sayı Kümeleri):
Sayı Kümeleri ve İlişkileri: ℕ (Doğal Sayılar: 0,1,2,3,…), ℤ (Tam Sayılar: …,-2,-1,0,1,2,…), ℚ (Rasyonel Sayılar: a/b, b≠0), ℚ’ (İrrasyonel Sayılar: √2, π, e), ℝ (Gerçek Sayılar: ℚ ∪ ℚ’). ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
İşlem Özellikleri (Doğal ve Tam Sayılar): Değişme (a+b=b+a, a·b=b·a), birleşme ((a+b)+c=a+(b+c)), dağılma (a·(b+c)=a·b+a·c), etkisiz eleman (toplamada 0, çarpmada 1), ters eleman (toplamada -a, çarpmada 1/a (a≠0)).
Rasyonel Sayılar: Kesir türleri (basit, bileşik, tam sayılı). Sadeleştirme, genişletme, toplama/çıkarma (payda eşitleme), çarpma (pay×pay/payda×payda), bölme (ters çevir çarp).
Üslü Sayılar (aⁿ – n doğal sayı):
– aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a≠0), (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ, (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ, (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ (b≠0).
– Sıfırıncı kuvvet (a⁰=1, a≠0), negatif üs (a⁻ⁿ = 1/aⁿ), üslü denklemler (tabanlar eşitse üsler eşit, tabanlar farklıysa logaritma).
Köklü Sayılar (a^(1/n) = √a): √a·√b = √(a·b), √a/√b = √(a/b), √(a²) = |a|. İç içe kökler, kök dereceleri, rasyonel üs: a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ). Paydayı rasyonel yapma (eşlenik çarpma).
Mutlak Değer (|a| – a’nın 0’a uzaklığı): |a| = { a, a≥0; –a, a<0 }. |a·b| = |a|·|b|, |a/b| = |a|/|b|, |a+b| ≤ |a|+|b| (üçgen eşitsizliği). Mutlak değerli denklemler: |x|=a → x=a veya x=–a (a≥0).
Modüler Aritmetik (Z/mZ – saat aritmetiği): a ≡ b (mod m) → m | (a–b). Toplama, çarpma mod m. Tersi olan elemanlar (Euler, Fermat teoremleri).
📏 ORAN, ORANTI VE YÜZDE (Orantı Türleri, Yüzde Hesaplamaları, Kar-Zarar, Faiz):
Oran (a/b veya a:b): İki çokluğun bölümü. Birimli oran (hız: km/s) veya birimsiz (pay/payda aynı birim).
Orantı (İki oranın eşitliği – a/b = c/d): İçler-dışlar çarpımı: a·d = b·c.
– Doğru Orantı (x ve y doğru orantılı): y = k·x (k: orantı sabiti, x arttıkça y artar).
– Ters Orantı (x ve y ters orantılı): x·y = k (sabit, x arttıkça y azalır).
– Bileşik Orantı (birden fazla değişken): Örnek: işçi sayısı, süre, iş miktarı.
Yüzde (%) – Paydası 100 olan kesir: %a = a/100. Bir sayının %a’sı = sayı × a/100. Yüzde artış/azalış: yeni değer = eski × (100 ± a)/100.
– Kâr-Zarar Problemleri: Maliyet (M), Satış (S). Kâr = S – M, Kâr % = (Kâr/M)×100. Zarar % = (Zarar/M)×100.
– Faiz Problemleri (Basit faiz): F = A·n·t/100 (A: anapara, n: faiz oranı, t: süre (yıl)). Bileşik faiz: A(1+n/100)^t.
📊 VERİ, TABLO VE GRAFİK YORUMLAMA (Betimsel İstatistik – Veri Analizi):
Grafik Türleri ve Yorumlama:
– Sütun Grafiği (çubuk grafik): Kategorik verileri karşılaştırma (sütun yüksekliği/uzunluğu değeri gösterir).
– Daire Grafiği (pasta grafik): Bütünün parçalarını yüzde/açı olarak gösterir (açı = (yüzde/100)×360° veya (parça/bütün)×360°).
– Çizgi Grafiği: Zaman içindeki değişim (trend, eğilim).
– Histogram: Sürekli verilerin sınıflandırılmış dağılımı (sınıf aralıkları, frekans).
Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri:
– Aritmetik Ortalama (x̄) = (Verilerin toplamı) / (Veri sayısı).
– Medyan (Ortanca – Orta değer): Sıralanmış verinin ortası. Tek sayıda ise ortadaki, çift sayıda ise ortadaki iki sayının aritmetik ortalaması.
– Mod (Tepe değer – En sık tekrar eden değer). Bir veri setinde birden fazla mod olabilir.
– Standart Sapma (σ – Verilerin ortalamadan ne kadar saptığının ölçüsü): σ = √(∑(xᵢ – x̄)² / N). Küçük σ → veriler ortalamaya yakın, büyük σ → veriler dağınık.
– Frekans Tablosu: Verilerin hangi değerlerde kaç kez tekrarlandığını gösterir.
🧩 ÖRÜNTÜ VE SEMBOLLER (Sayı ve Geometrik Örüntüler – Cebirsel Genelleme):
Sayı Örüntüleri (Diziler): Belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar.
– Aritmetik dizi: Ardışık terimler arası fark sabit (aₙ = a₁ + (n-1)·d).
– Geometrik dizi: Ardışık terimler arası oran sabit (aₙ = a₁·rⁿ⁻¹).
– Fibonacci dizisi: Her terim kendinden önceki iki terimin toplamı (1,1,2,3,5,8,13,…).
– Üçgensel sayılar, karesel sayılar, küp sayıları.
Geometrik Örüntüler: Şekil sayıları (nokta, kare, üçgen), fraktallar, simetri, öteleme, döndürme.
Cebirsel İfadeler (Örüntüyü genelleme): n. terimi (aₙ) bulmak, örüntüyü formülle ifade etmek.
Semboller ve Gösterimler: ∑ (toplam sembolü), ∏ (çarpım sembolü), ! (faktöriyel), binom katsayısı (C(n,k) veya (ⁿₖ)).
📈 OLASILIK (Şans Olayları – Olasılık Hesaplamaları, Koşullu Olasılık):
Basit Olayların Olasılığı (Klasik Tanım – Laplace): P(A) = (İstenen durum sayısı) / (Tüm olası durum sayısı). 0 ≤ P(A) ≤ 1. P(A)=0 (imkansız olay), P(A)=1 (kesin olay).
– Deneysel Olasılık (Deney yaparak elde edilen): P(A) = (İstenen olayın gerçekleşme sayısı) / (Toplam deney sayısı).
– Teorik Olasılık (Matematiksel model): Örnek: Para atma, zar atma, kart çekme.
Olay Çeşitleri:
– Ayrık Olaylar (kesişimleri boş küme): P(A∪B) = P(A) + P(B).
– Ayrık Olmayan Olaylar: P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B).
– Bağımsız Olaylar (Birinin gerçekleşmesi diğerini etkilemez): P(A∩B) = P(A)·P(B).
– Bağımlı Olaylar (Birinin gerçekleşmesi diğerini etkiler): P(A∩B) = P(A)·P(B|A).
Koşullu Olasılık (B verilmişken A’nın olasılığı): P(A|B) = P(A∩B) / P(B), P(B)≠0.
Toplam Olasılık ve Bayes Teoremi: P(A) = Σ P(A|Bᵢ)·P(Bᵢ).
Ağaç Diyagramı (Olasılık hesaplamalarında görselleştirme): Deneyin tüm olasılıklarını ve olasılık değerlerini gösterir. Her dalın olasılığı çarpılır, aynı sonuca giden dalların olasılıkları toplanır.
💡 ÖĞRETMEN TAKTİĞİ (Sınav Stratejisi – Analiz %36 için):
– Sayılar: Üslü-köklü işlemlerde kuralları (çarpma, bölme, üs alma) iyi ezberleyin. Mutlak değerde içeriyi sıfır yapan kritik noktalar.
– Orantı: Doğru orantı (y=kx), ters orantı (xy=k). Yüzde (aritmetik işlemler, kar-zarar, faiz).
– Veri/Grafik: Ortalama (toplam/terim sayısı), medyan (sıralı veri ortası), mod (en çok tekrar). Grafiklerde eksenleri doğru okuyun.
– Örüntü: Aritmetik dizi (aₙ=a₁+(n-1)d), geometrik dizi (aₙ=a₁·rⁿ⁻¹). Genel terimi bulma.
– Olasılık: İstenen/tüm durum. Bağımsız olay (çarpılır), ayrık olay (toplanır). Koşullu olasılık (P(A|B)=P(A∩B)/P(B)).
– ÖSYM sorularında en çok: Yüzde problemleri (kar-zarar, faiz, indirim-zam), ortalama-medyan-mod yorumlama, olasılık (çarpma-toplam kuralı), örüntü (aritmetik/geometrik dizi), oran-orantı (doğru/ters).
💪 MOTİVASYON – Analiz, İlköğretim Matematik ÖABT’nin Temel Taşı!
Analiz, ÖABT İlköğretim Matematik’te %36 ağırlıkla yaklaşık 18 soru demek (en yüksek ağırlıklı konu). Sayılar, oran-orantı, yüzde, veri-grafik, örüntü ve olasılık alt başlıklarını kapsar. Günlük hayatla bağlantılı olduğu için kavramları somutlaştırarak çalışmak başarıyı getirir.
📊 İstatistik (Son 5 Yıl – ÖABT İlköğretim Matematik): Yüzde ve oran-orantı problemleri (%30), Olasılık (%25), Veri ve grafik yorumlama (%20), Sayılar ve işlemler (%15), Örüntü ve semboller (%10).
🎯 GÜNLÜK TAKTİKLER (Analiz için Haftalık Plan):
– Pazartesi (Sayılar – Üslü/Köklü, Mutlak Değer): Üslü sayı kuralları (çarpma/bölme/üs), köklü sayı işlemleri, mutlak değerli denklemler. 10 işlem sorusu.
– Salı (Oran-Orantı – Yüzde): Doğru orantı (y=kx), ters orantı (xy=k). Yüzde hesapları (artış-azalış, kar-zarar). 10 problem.
– Çarşamba (Veri, Tablo, Grafik): Aritmetik ortalama, medyan, mod, standart sapma (küçük σ → tutarlı). Sütun, daire, çizgi grafiği yorumlama. 10 grafik sorusu.
– Perşembe (Örüntü ve Semboller): Aritmetik dizi (aₙ=a₁+(n-1)d), geometrik dizi (aₙ=a₁·rⁿ⁻¹). Fibonacci, üçgensel, karesel sayılar. 10 örüntü sorusu.
– Cuma (Olasılık): Basit olay olasılığı (istenen/tüm). Bağımlı-bağımsız olay, koşullu olasılık (P(A|B)=P(A∩B)/P(B)). Ağaç diyagramı. 10 olasılık sorusu.
– Cumartesi (Deneme): 20 karışık analiz sorusu (tüm alt konular). Süre tut (40 dk).
– Pazar (Eksikler): Yanlış yaptığınız soruların konularını tekrar edin, formülleri yazın.
– Formül Kartları: aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ, a⁻ⁿ=1/aⁿ, |x|=a → x=±a, Doğru orantı y=kx, Ters orantı xy=k, % artış/azalış, Ortalama=Σx/n, Medyan (ortanca), P(A)=istenen/tüm, P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
– ÖSYM tuzağı (Analizde en çok yapılan hatalar): “Ortalama her zaman verilerin ortasıdır” (YANLIŞ – medyan ortadır). “Mod her zaman vardır” (YANLIŞ – yoksa veya birden fazla olabilir). “Olasılık 1’den büyük olabilir” (YANLIŞ – 0-1 arası). “Bağımsız olaylarda P(A∩B)=P(A)+P(B)” (YANLIŞ – çarpılır). “Yüzde artış/azalış aynı işlemle hesaplanır” (YANLIŞ – artış (100+a)/100, azalış (100-a)/100). Bu tuzaklara dikkat!
📌 UNUTMAYIN: Analiz konusu, günlük hayatta sıkça karşılaştığımız (indirim, faiz, ortalama, şans oyunları) problemleri içerir. Formülleri ezberlemek kadar, hangi durumda hangi yöntemi kullanacağınızı kavrayarak pratik yapın. Bol soru çözerek hız kazanın.
🔍 Kolay Soru 1
Bir sayının %20’si 40 ise bu sayı kaçtır?
🔓 Kapsamlı Çözümü Göster
📖 Açıklama: Bir sayının %20’si, sayının 20/100 = 1/5’ine eşittir. Sayıya x diyelim. O halde x·(20/100)=40 → x·(1/5)=40 → x=40·5=200. Alternatif: %20’si 40 ise %1’i = 40/20=2, %100’ü = 2×100=200. Yüzde problemlerinde “Bir sayının %a’sı b ise sayı = b × 100 / a” formülü kullanılabilir.
💡 Sınav İpucu: Yüzde problemlerinde sayı = (verilen değer × 100) / yüzde oranı. %20’si 40 → 40×100/20 = 200.
🔍 Kolay Soru 2
3, 7, 11, 15, … örüntüsünün 10. terimi kaçtır?
🔓 Kapsamlı Çözümü Göster
📖 Açıklama: 3, 7, 11, 15, … bir aritmetik dizidir. Ortak fark (d) = 7-3 = 4 (ardışık iki terim farkı). İlk terim a₁=3. Aritmetik dizinin genel terimi: aₙ = a₁ + (n-1)·d. n=10 için: a₁₀ = 3 + (10-1)·4 = 3 + 9·4 = 3 + 36 = 39.
💡 Sınav İpucu: Aritmetik dizi (aₙ = a₁ + (n-1)·d), geometrik dizi (aₙ = a₁·rⁿ⁻¹). Örüntü sorularında ilk adım ortak farkı (veya oranı) bulmaktır.
🔍 Kolay Soru 3
Bir madeni para 3 kez atılıyor. En az bir kez tura gelme olasılığı nedir?
🔓 Kapsamlı Çözümü Göster
📖 Açıklama: Bir madeni paranın her atışta tura gelme olasılığı 1/2, yazı gelme olasılığı 1/2’dir. 3 atışta tüm olası durum sayısı = 2³ = 8 (TTT, TTY, TYT, TYY, YTT, YTY, YYT, YYY – T:tura, Y:yazı). “En az bir tura” olayının tersi, “hiç tura gelmemesi” (üçünün de yazı gelmesi) = YYY → 1 durum. P(hiç tura yok) = 1/8. En az bir tura olasılığı = 1 – 1/8 = 7/8. Alternatif: Doğrudan sayma: 8 durumdan 1 hariç 7 durumda tura var → 7/8.
💡 Sınav İpucu: “En az bir” sorularında ters olayı (hiç) kullanmak genellikle daha kolaydır. P(en az bir) = 1 – P(hiç).
🔍 Kolay Soru 4
2, 4, 6, 8, 10 sayılarının aritmetik ortalaması kaçtır?
🔓 Kapsamlı Çözümü Göster
📖 Açıklama: Aritmetik ortalama = (Verilerin toplamı) / (Veri sayısı). Toplam = 2+4+6+8+10 = 30. Terim sayısı = 5. Ortalama = 30/5 = 6. Bu sayılar aynı zamanda bir aritmetik dizinin (2,4,6,8,10 – ortak fark 2) ilk 5 terimi olduğu için ortalama, ortadaki terime (medyana) eşittir: 6.
💡 Sınav İpucu: Aritmetik ortalama = toplam/terim sayısı. Simetrik dağılımlarda (çift sayıda terimde) ortalama ile medyan farklı olabilir.
🔍 Kolay Soru 5
Bir sınıftaki kızların sayısı erkeklerin sayısına oranı 3:4’tür. Sınıf mevcudu 28 ise kız sayısı kaçtır?
🔓 Kapsamlı Çözümü Göster
📖 Açıklama: Kız/Erkek = 3/4 oranı verildiğinde kız = 3k, erkek = 4k diyebiliriz (k pozitif tam sayı). Toplam = 3k+4k = 7k = 28 → k = 28/7 = 4. Kız sayısı = 3k = 3×4 = 12. Erkek sayısı = 4×4 = 16. Oran 12/16 = 3/4 doğrulaması.
💡 Sınav İpucu: Oran problemlerinde a:b = c:d → a = k·c, b = k·d yöntemi kullanılır. Toplam verilmişse k = toplam / (c+d).
🔥 Zor Soru 1 – Yüzde Problemleri (Kar-Zarar)
Bir sınıftaki öğrencilerin %40’ı kızdır. Erkeklerin sayısı, kızların sayısından 6 fazla olduğuna göre sınıf mevcudu kaçtır?
🔓 ULTRA KAPSAMLI ÇÖZÜM
📖 Açıklama: Sınıf mevcuduna x diyelim. Kızlar = %40 = 0,4x. Erkekler = %60 = 0,6x (çünkü %100 – %40 = %60). Erkekler, kızlardan 6 fazla: 0,6x – 0,4x = 6 → 0,2x = 6 → x = 6 / 0,2 = 30. Sağlama: Kız = 12, erkek = 18, fark = 6. Oran 12/30 = 0,4 (%40).
💡 Sınav İpucu: Yüzde problemlerinde bütünü x alıp, yüzdeleri ondalıklı ifade ederek denklem kurmak en güvenli yöntemdir. % a = a/100 olarak yazılır.
🔥 Zor Soru 2 – Koşullu Olasılık
Bir zar atıldığında gelen sayının asal sayı olduğu biliniyorsa, bu sayının 3’ten büyük olma olasılığı nedir?
🔓 ULTRA KAPSAMLI ÇÖZÜM
📖 Açıklama: Bir zar atıldığında gelebilecek sayılar: 1,2,3,4,5,6. Asal sayılar: 2,3,5 (3 durum). 3’ten büyük asal sayılar: sadece 5 (1 durum). İstenen olasılık: P(3’ten büyük | asal) = (Asal olup 3’ten büyük sayılar) / (Tüm asal sayılar) = 1/3. Alternatif: Koşullu olasılık formülü P(A|B) = P(A∩B)/P(B). A: sayı 3’ten büyük, B: sayı asal. A∩B = {5} → P=1/6, P(B)=3/6=1/2 → P(A|B)=(1/6)/(1/2)= (1/6)×(2/1)=2/6=1/3.
💡 Sınav İpucu: Koşullu olasılıkta, bilgi (koşul) verildiğinde örneklem uzayı (tüm durum) sadece koşula uyan durumlara indirgenir. P(A|B) = P(A∩B)/P(B).
🔥 Zor Soru 3 – Medyan ve Mod (Veri Analizi)
Bir sınıftaki öğrencilerin matematik dersinden aldığı notlar: 70, 85, 90, 65, 80, 75, 95, 60, 85, 70. Bu veri setinin medyanı ve modu nedir?
🔓 ULTRA KAPSAMLI ÇÖZÜM
📖 Açıklama: Verileri küçükten büyüğe sıralayalım: 60, 65, 70, 70, 75, 80, 85, 85, 90, 95. Terim sayısı n=10 (çift). Medyan (ortanca), ortadaki iki sayının aritmetik ortalamasıdır. Ortadaki iki sayı (5. ve 6. sıradaki): 75 ve 80. Medyan = (75+80)/2 = 155/2 = 77,5. Mod (tepe değer – en sık tekrar eden sayı): 70 (2 kez), 85 (2 kez) → iki modlu veri seti. Diğer sayılar 1 kez tekrar ediyor.
💡 Sınav İpucu: Medyan hesaplarken veriler mutlaka sıralanmalıdır. Tek sayıda terim varsa ortadaki terim medyandır; çift sayıda terim varsa ortadaki iki terimin ortalaması medyandır. Mod her zaman olmayabilir (tüm veriler farklıysa mod yok) veya birden fazla olabilir.
🔤 Cebir %24
📖 ÖĞRETMEN NOTU – Cebir (EKSİKSİZ)
🔤 CEBİRSEL İFADELER (Temel Cebir – Terim, Katsayı, Değişken, İşlemler):
Temel Kavramlar: Değişken (x,y,z…), katsayı (değişkenin önündeki sayı), sabit terim (değişken içermeyen), terim (toplama/çıkarma ile ayrılan parçalar). Örnek: 3x² – 5x + 7 ifadesinde terimler: 3x², –5x, 7; katsayılar: 3, –5, 7; sabit terim: 7.
Cebirsel İfadelerle İşlemler:
– Toplama/Çıkarma: Sadece benzer terimler (ayrı değişken ve aynı üs) toplanır/çıkarılır. Örnek: (3x²+2x)+(5x²-3x) = 8x² – x.
– Çarpma: Dağılma özelliği kullanılır. (a+b)·(c+d) = a·c + a·d + b·c + b·d.
– Özdeşlik (Tüm x değerleri için sağlanan eşitlik): Önemli özdeşlikler:
* (a+b)² = a² + 2ab + b² (toplamın karesi)
* (a–b)² = a² – 2ab + b² (farkın karesi)
* (a+b)(a–b) = a² – b² (iki kare farkı)
* (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
* (a–b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
* a³ + b³ = (a+b)(a² – ab + b²)
* a³ – b³ = (a–b)(a² + ab + b²)
📝 DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER (Birinci Dereceden – Mutlak Değerli – Sistemler):
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem (ax + b = 0, a≠0): Bilinmeyen x’i yalnız bırakma yöntemi: x = –b/a. Örnek: 3x – 7 = 8 → 3x = 15 → x = 5.
Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri (ax + by = c, dx + ey = f):
– Yerine Koyma Yöntemi: Bir denklemden bir değişken çekilir, diğerinde yerine yazılır.
– Eleme Yöntemi (Yok etme): Katsayılar eşitlenerek toplanır/çıkarılır.
– Grafik Yöntemi: Doğruların kesişim noktası çözümdür. Paralel ise çözüm yok, çakışık ise sonsuz çözüm.
Birinci Dereceden Eşitsizlikler (ax + b > 0, <, ≥, ≤): Denklem gibi çözülür, ancak her iki taraf negatif sayı ile çarpılırsa veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.
Eşitsizlik Sistemleri (İki eşitsizliğin ortak çözümü): Her eşitsizlik ayrı çözülür, ortak (kesişim) kısım alınır.
Mutlak Değerli Denklemler (|x| = a, a≥0 → x = a veya x = –a):
– |x| < a → –a < x < a, |x| > a → x < –a veya x > a.
– İç içe mutlak değerler: İçten dışa doğru açılır.
📈 FONKSİYONLAR (Tanım, Doğrusal, Parabol, Dönüşümler):
Fonksiyon Tanımı (f: A → B): A (tanım kümesi) kümesindeki her elemanı, B (değer kümesi) kümesindeki yalnızca bir elemanla eşleyen bağıntı. Görüntü kümesi = f(A) ⊂ B.
– Fonksiyon belirleme: Düşey doğru testi (grafikte her x değerine yalnızca bir y karşılık gelmeli).
Doğrusal Fonksiyon (y = ax + b, a ve b gerçek sayı, a≠0):
– Eğim (a) = Δy/Δx = (y₂–y₁)/(x₂–x₁). Doğrunun eğimi sabittir.
– Grafiği bir doğrudur. x=0 iken y=b (y eksenini kestiği nokta). y=0 iken x= –b/a (x eksenini kestiği nokta).
İkinci Dereceden Fonksiyon (Parabol – y = ax² + bx + c, a≠0):
– Tepe Noktası (r,k): r = –b/(2a), k = f(r) = a·r² + b·r + c.
– a > 0 → kollar yukarı (minimum değer k), a < 0 → kollar aşağı (maksimum değer k).
– x eksenini kestiği noktalar (kökler) → ax²+bx+c=0 denkleminin çözümü (Δ = b²–4ac). Δ>0: iki farklı reel kök; Δ=0: çakışık kök; Δ<0: reel kök yok.
Fonksiyonlarda Dönüşümler (Öteleme, Yansıma, Simetri):
– y = f(x) + k → düşey öteleme (+k yukarı, –k aşağı).
– y = f(x + h) → yatay öteleme (+h sola, –h sağa).
– y = –f(x) → x eksenine göre yansıma.
– y = f(–x) → y eksenine göre yansıma.
🧩 POLİNOMLAR (Tanım, Derece, Katsayılar, İşlemler, Çarpanlara Ayırma):
Polinom Tanımı (P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀): n (derece) doğal sayı, aₙ≠0. Katsayılar gerçek sayı (veya karmaşık).
Polinomlarda Toplama/Çıkarma: Aynı dereceli terimlerin katsayıları toplanır/çıkarılır.
Polinomlarda Çarpma: Dağılma özelliği ile her terim diğer polinomun her terimi ile çarpılır, benzer terimler toplanır.
Polinomlarda Bölme (P(x) / Q(x)): Q(x) ≠ 0. P(x) = Q(x)·B(x) + K(x) (K(x) bölümden kalan, derecesi bölenin derecesinden küçük).
Çarpanlara Ayırma (Bir polinomu daha küçük dereceli polinomların çarpımı olarak yazma – Önemli Yöntemler):
1. Ortak Çarpan Parantezi: ab + ac = a(b + c).
2. Gruplandırma: ax + bx + ay + by = (a+b)(x+y).
3. İki Kare Farkı: a² – b² = (a – b)(a + b).
4. Tam Kare: a² ± 2ab + b² = (a ± b)².
5. İki Küp Toplamı/Farkı: a³ + b³ = (a+b)(a² – ab + b²); a³ – b³ = (a–b)(a² + ab + b²).
6. ax² + bx + c (ikinci derece üç terimli) çarpanlarına ayırma: Çarpımı a·c, toplamı b olan iki sayı bulunur.
💡 ÖĞRETMEN TAKTİĞİ (Sınav Stratejisi – Cebir %24 için):
– Özdeşlikler: (a±b)² = a² ± 2ab + b², a²–b² = (a–b)(a+b), (a±b)³, a³±b³. Çarpanlara ayırma sorularında kullanılır.
– Denklem Sistemleri: Yerine koyma veya eleme (yok etme) yöntemi. İki bilinmeyenli, iki denklem.
– Eşitsizlikler: Negatif sayı ile çarparken/bölerken yön değiştir. Mutlak değerli eşitsizliklerde aralık bulma.
– Fonksiyonlar: f(x) = ax + b (doğrusal – eğim a). f(x) = ax²+bx+c (parabol – tepe noktası r=–b/2a).
– Polinomlar: Derece, katsayı, P(0) sabit terim. Bölme işlemi (kalan bulma).
– ÖSYM sorularında en çok: Çarpanlara ayırma (özdeşlikler), denklem sistemleri, parabol (tepe noktası, yön), doğrusal fonksiyon eğimi, mutlak değerli denklem/eşitsizlikler.
💪 MOTİVASYON – Cebir, Matematiğin Dili!
Cebir, ÖABT İlköğretim Matematik’te %24 ağırlıkla yaklaşık 12 soru demek (Analiz’den sonra ikinci büyük konu). Cebirsel ifadeler, denklemler, eşitsizlikler, fonksiyonlar ve polinomlar alt başlıklarını kapsar. Özdeşlikler ve çarpanlara ayırma, denklem çözme, parabol analizi bu konunun temelidir.
📊 İstatistik (Son 5 Yıl – ÖABT İlköğretim Matematik): Çarpanlara ayırma ve özdeşlikler (%30), Denklem ve eşitsizlik sistemleri (%25), Fonksiyonlar (doğrusal, parabol) (%25), Polinom işlemleri (%20).
🎯 GÜNLÜK TAKTİKLER (Cebir için Haftalık Plan):
– Pazartesi (Cebirsel İfadeler – Özdeşlikler): (a±b)² = a² ± 2ab + b², a²–b²=(a–b)(a+b), (a±b)³, a³±b³. 10 özdeşlik sorusu.
– Salı (Denklemler ve Eşitsizlikler): Birinci derece denklem (ax+b=0). İki bilinmeyenli sistem (yerine koyma, eleme). Eşitsizlikler (yön değiştirme). 10 denklem/eşitsizlik sorusu.
– Çarşamba (Mutlak Değerli Denklem/Eşitsizlik): |x|=a → x=a veya x=–a. |x|a → x<–a veya x>a. 10 mutlak değer sorusu.
– Perşembe (Fonksiyonlar): Doğrusal fonksiyon (y=ax+b, eğim a). Parabol (y=ax²+bx+c, tepe noktası r=–b/2a). Dönüşümler (öteleme, yansıma). 10 fonksiyon sorusu.
– Cuma (Polinomlar – Çarpanlara Ayırma): Polinom tanımı, derece, toplama/çıkarma/çarpma/bölme. Çarpanlara ayırma yöntemleri (ortak çarpan, gruplandırma, iki kare farkı, tam kare, ikinci derece üç terimli). 10 polinom sorusu.
– Cumartesi (Deneme): 20 karışık cebir sorusu (tüm alt konular). Süre tut (40 dk).
– Pazar (Eksikler): Yanlış yaptığınız soruların konularını tekrar edin, formülleri yazın.
– Formül Kartları: (a±b)²=a²±2ab+b², (a+b)(a–b)=a²–b², ax+b=0 → x=–b/a, (x+y)²=x²+2xy+y², parabol tepe noktası r=–b/2a, |x|=a → x=±a, |x|
– ÖSYM tuzağı (Cebirde en çok yapılan hatalar): “(a+b)² = a² + b²” (YANLIŞ – 2ab terimi unutulur). “Eşitsizlikte negatif sayı ile çarpınca yön değiştirilmez” (YANLIŞ – değiştirilir). “Parabolün tepe noktası r = –b/a” (YANLIŞ – r = –b/(2a)). “Polinom bölmesinde kalan derecesi bölenin derecesinden büyük olabilir” (YANLIŞ – küçük olmalı). “Mutlak değerli denklemde iki durum yeterlidir” (DOĞRU – x=a veya x=–a). Bu tuzaklara dikkat!
📌 UNUTMAYIN: Cebir sorularında özdeşlikleri doğru uygulamak (özellikle (a±b)² ve a²–b²), denklem sistemlerini doğru çözmek, parabolün tepe noktasını doğru bulmak çok önemlidir. Bol pratik ile hız kazanabilirsiniz.
🔍 Kolay Soru 1
2x + 5 = 15 denkleminin çözümü nedir?
🔓 Kapsamlı Çözümü Göster
📖 Açıklama: Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem çözümü: Bilinmeyen (x) bir tarafta, sabitler diğer tarafta toplanır. 2x + 5 = 15 → 2x = 15 – 5 → 2x = 10 → x = 10/2 = 5. Sağlama: 2·5 + 5 = 10 + 5 = 15 (doğru).
💡 Sınav İpucu: ax + b = c → ax = c – b → x = (c – b)/a. İşlem sırası: önce toplama/çıkarma, sonra çarpma/bölme.
🔍 Kolay Soru 2
(x + 3)(x – 2) ifadesinin açılımı nedir?
🔓 Kapsamlı Çözümü Göster
📖 Açıklama: İki binom çarpımı: (a+b)(c+d) = a·c + a·d + b·c + b·d (dağılma özelliği). (x+3)(x–2) = x·x + x·(–2) + 3·x + 3·(–2) = x² – 2x + 3x – 6 = x² + x – 6. Alternatif: (x + a)(x + b) = x² + (a+b)x + a·b formülü: a=3, b=–2 → a+b=1, a·b= –6 → x² + 1·x – 6 = x² + x – 6.
💡 Sınav İpucu: (x + a)(x + b) = x² + (a+b)x + ab. Bu formül çarpanlara ayırmada da kullanılır.
🔍 Kolay Soru 3
f(x) = 2x – 3 ise f(4) kaçtır?
🔓 Kapsamlı Çözümü Göster
📖 Açıklama: f(x) bir fonksiyondur. f(4), x = 4 için fonksiyonun değerini bulmak demektir. f(x) = 2x – 3 → f(4) = 2·4 – 3 = 8 – 3 = 5. Doğrusal fonksiyon (y = 2x – 3) grafiğinde x=4 iken y=5’tir.
💡 Sınav İpucu: f(a) hesaplanırken fonksiyon kuralında x yerine a yazılır. f(g(x)) gibi bileşke fonksiyonlarda içten dışa doğru hesaplanır.
🔍 Kolay Soru 4
x² – 9 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali nedir?
🔓 Kapsamlı Çözümü Göster
📖 Açıklama: İki kare farkı özdeşliği: a² – b² = (a – b)(a + b). x² – 9 = x² – 3² = (x – 3)(x + 3). Çarpanlara ayırma, polinomu daha küçük dereceli polinomların çarpımı olarak yazmaktır. (x–3)(x+3) açılırsa x² + 3x – 3x – 9 = x² – 9 elde edilir.
💡 Sınav İpucu: İki kare farkı (a²–b²), tam kare (a²±2ab+b²), iki küp toplamı/farkı (a³±b³) en çok kullanılan özdeşliklerdir.
🔍 Kolay Soru 5
y = 2x + 1 doğrusunun eğimi kaçtır?
🔓 Kapsamlı Çözümü Göster
📖 Açıklama: Doğrusal fonksiyon (y = ax + b) biçiminde yazıldığında eğim = a’dır. y = 2x + 1 → a = 2 (eğim), b = 1 (y eksenini kestiği nokta). Eğim, doğrunun eğikliğini gösterir; Δy/Δx = (y₂–y₁)/(x₂–x₁) ile de hesaplanabilir. Örnek: x=0 için y=1, x=1 için y=3, eğim = (3–1)/(1–0)=2.
💡 Sınav İpucu: y = ax + b (a = eğim, b = y eksenini kestiği nokta). Eğim pozitifse doğru sağa yukarı, negatifse sağa aşağı eğimlidir.
🔥 Zor Soru 1 – Tam Kare Özdeşliği
x² + 6x + 9 ifadesi hangi ifadenin karesidir?
🔓 ULTRA KAPSAMLI ÇÖZÜM
📖 Açıklama: Tam kare özdeşliği: (a + b)² = a² + 2ab + b². x² + 6x + 9 ifadesinde: a² = x² → a = x; b² = 9 → b = 3 (veya b = –3, ancak 2ab = 2·x·3 = 6x olduğu için b=3). O halde ifade (x + 3)² = x² + 2·x·3 + 3² = x² + 6x + 9. (x – 3)² = x² – 6x + 9 olurdu (6x değil –6x). Bu nedenle doğru cevap (x+3)²’dir.
💡 Sınav İpucu: Tam kare ifadeleri (a±b)² = a² ± 2ab + b² özdeşliğinden tanınır. Ortadaki terimin işareti parantez içindeki işareti belirler.
🔥 Zor Soru 2 – Özdeşlikler (x+y ve xy verildiğinde x²+y² bulma)
x + y = 7 ve xy = 10 ise x² + y² kaçtır?
🔓 ULTRA KAPSAMLI ÇÖZÜM
📖 Açıklama: (x + y)² = x² + 2xy + y² özdeşliğini kullanacağız. (x+y)=7 → (x+y)² = 7² = 49. xy=10 → 2xy = 20. O halde: 49 = x² + 20 + y² → x² + y² = 49 – 20 = 29. Sağlama: x ve y ikinci derece denklemin kökleri: t² – (x+y)t + xy = 0 → t² – 7t + 10 = 0 → (t–2)(t–5)=0 → x=2, y=5 (veya tersi). x²+y²=4+25=29.
💡 Sınav İpucu: (x+y)² = x²+2xy+y², (x–y)² = x²–2xy+y², x²+y² = (x+y)² – 2xy = (x–y)² + 2xy. Bu dönüşümler çok kullanışlıdır.
🔥 Zor Soru 3 – Parabol (İkinci Dereceden Fonksiyon) Tepe Noktası
f(x) = x² – 4x + 3 parabolünün tepe noktası (r,k) nedir? Parabolün yönünü belirleyiniz (kollar yukarı/aşağı). x eksenini kestiği noktaları bulunuz.
🔓 ULTRA KAPSAMLI ÇÖZÜM
📖 Açıklama: f(x) = ax² + bx + c için tepe noktası r = –b/(2a), k = f(r). a=1, b=–4, c=3. r = –(–4)/(2·1) = 4/2 = 2. k = f(2) = 2² – 4·2 + 3 = 4 – 8 + 3 = –1. Tepe noktası T(2, –1). a=1 > 0 olduğu için kollar yukarı (minimum değer –1). x eksenini kestiği noktalar f(x)=0 denkleminin kökleridir: x² – 4x + 3 = 0 → (x–1)(x–3)=0 → x=1 veya x=3. Noktalar (1,0) ve (3,0).
💡 Sınav İpucu: Parabol (ikinci derece fonksiyon) – tepe noktası r = –b/2a. a>0 → kollar yukarı (minimum), a<0 → kollar aşağı (maksimum). x eksenini kesme sayısı Δ = b²–4ac'ye bağlı: Δ>0 → 2 farklı kök, Δ=0 → 1 kök (teğet), Δ<0 → reel kök yok.
📐 Geometri %24
📖 ÖĞRETMEN NOTU – Geometri (EKSİKSİZ)
📐 TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR (Nokta, Doğru, Açı, Açı Çeşitleri):
Temel Kavramlar: Nokta (boyutsuz), doğru (sonsuz uzunluk, iki yönde sınırsız), doğru parçası (iki uçlu, sınırlı), ışın (bir uçlu, diğer yönde sınırsız).
Açı ve Açı Çeşitleri (Dar, Dik, Geniş, Doğru, Tam):
– Dar Açı: 0° < α < 90°
– Dik Açı: α = 90°
– Geniş Açı: 90° < α < 180°
– Doğru Açı: α = 180°
– Tam Açı: α = 360°
Açı Çeşitleri (İlişkileri):
– Tümler Açılar: Toplamları 90°.
– Bütünler Açılar: Toplamları 180°.
– Ters Açılar (tepe açıları): Eşit.
– Komşu Açılar: Aynı köşe ve bir kenarı ortak.
– İç Ters Açılar (paralel iki doğrunun kesenle oluşturduğu): Eşit.
– Dış Ters Açılar (paralel iki doğrunun kesenle oluşturduğu): Eşit.
– Yöndeş Açılar (paralel iki doğrunun kesenle oluşturduğu): Eşit.
🔺 ÜÇGENLER (Çeşitleri, Eşitsizlik, Yardımcı Elemanlar, Pisagor, Alan, Benzerlik):
Üçgen Çeşitleri (Kenarlarına ve Açılarına Göre):
– Kenarlarına göre: Eşkenar (üç kenar eşit, üç açı 60°), İkizkenar (iki kenar eşit, taban açıları eşit), Çeşitkenar (tüm kenar ve açılar farklı).
– Açılarına göre: Dar Açılı Üçgen (tüm açılar < 90°), Dik Açılı Üçgen (bir açı = 90°), Geniş Açılı Üçgen (bir açı > 90°).
Üçgen Eşitsizliği: Bir üçgende herhangi bir kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük, farkından büyüktür. |b–c| < a < b + c.
Üçgenin Yardımcı Elemanları:
– Kenarortay (Köşeden karşı kenarın ortasına çizilen doğru). Kenarortaylar bir noktada kesişir (ağırlık merkezi).
– Yükseklik (Köşeden karşı kenara dikme). Yükseklikler bir noktada kesişir (diklik merkezi).
– Açıortay (Bir açıyı iki eşit parçaya bölen ışın). Açıortaylar bir noktada kesişir (iç teğet çemberin merkezi).
Pisagor Teoremi (Sadece dik üçgende): a² + b² = c² (c hipotenüs, a ve b dik kenarlar). Özel dik üçgenler: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 9-40-41.
Üçgenin Alanı: A = (taban × yükseklik)/2. Heron formülü (üç kenar biliniyorsa): A = √[u(u–a)(u–b)(u–c)], u = (a+b+c)/2.
Benzerlik (İki üçgenin karşılıklı açılarının eşit olması veya kenarlarının orantılı olması):
– AA (Açı-Açı): İki açı eşitse üçüncü de eşit olur, üçgenler benzer.
– KAK (Kenar-Açı-Kenar): İki kenar orantılı ve aralarındaki açı eşitse benzer.
– KKK (Kenar-Kenar-Kenar): Tüm kenarlar orantılıysa benzer.
⏹️ DÖRTGENLER VE ÇOKGENLER (Dörtgen Türleri, Özellikleri, Çokgen Formülleri):
Dörtgen Türleri ve Özellikleri:
– Kare: Tüm kenar eşit, tüm açı 90°, köşegenler eşit ve dik kesişir. Alan = a², Çevre = 4a.
– Dikdörtgen: Karşılıklı kenar eşit, tüm açı 90°. Alan = a·b, Çevre = 2(a+b).
– Paralelkenar: Karşılıklı kenar paralel ve eşit. Karşılıklı açılar eşit, köşegenler birbirini ortalar. Alan = a·h.
– Eşkenar Dörtgen (Rhombus): Tüm kenar eşit, karşılıklı açılar eşit, köşegenler dik kesişir (birbirini ortalar). Alan = (e·f)/2 (e,f köşegenler).
– Yamuk (Yalnızca bir çift kenar paralel). Alan = (alt taban + üst taban)/2 × yükseklik.
Çokgenler (n kenarlı çokgen):
– İç açıları toplamı = (n–2)·180°.
– Dış açıları toplamı = 360° (her zaman).
– Bir dış açı = 360°/n (düzgün çokgende). Bir iç açı = (n–2)·180°/n.
– Köşegen sayısı = n·(n–3)/2.
⚪ ÇEMBER VE DAİRE (Çemberde Açılar, Teğet, Kiriş, Yay, Alan, Çevre):
– Çember: Sabit bir noktadan (merkez) eşit uzaklıktaki noktaların kümesi. Yarıçap (r), çap (R = 2r).
– Çemberin Çevresi = 2πr, Dairenin Alanı = πr².
– Merkez Açı (köşesi merkezde): Ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşit.
– Çevre Açı (köşesi çember üzerinde): Ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısı.
– Teğet (çembere bir noktada değen doğru): Teğet, değme noktasında yarıçapa diktir.
– Kiriş (uçları çember üzerinde olan doğru parçası). En uzun kiriş çaptır.
– Daire Dilimi (sektör) Alanı = (θ/360)·πr² (θ: merkez açı).
– Daire Parçası (segment) Alanı = Sektör alanı – Üçgen alanı.
📏 ANALİTİK GEOMETRİ (İki Nokta Uzaklığı, Eğim, Doğru Denklemleri, Çember Denklemi):
İki Nokta Arası Uzaklık (A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)): |AB| = √[(x₂–x₁)² + (y₂–y₁)²].
Doğrunun Eğimi (m): m = (y₂–y₁)/(x₂–x₁) (x₁≠x₂). Yatay doğru m=0, dikey doğrunun eğimi tanımsızdır.
Doğru Denklemleri:
– Eğim-kesim noktası formu: y = mx + n (n: y eksenini kestiği nokta).
– İki noktası bilinen doğru: (y–y₁)/(x–x₁) = (y₂–y₁)/(x₂–x₁).
– Eğimi ve bir noktası bilinen doğru: y – y₁ = m(x – x₁).
– Genel form: ax + by + c = 0.
İki Doğrunun Birbirine Göre Durumu: Paralel (eğimler eşit, m₁=m₂), Dik (eğimler çarpımı –1, m₁·m₂ = –1).
Çember Denklemi (Merkez (a,b), yarıçap r): (x – a)² + (y – b)² = r².
🧊 KATI CİSİMLER (Alan ve Hacim Formülleri – Dikdörtgenler Prizması, Küp, Silindir, Koni, Küre):
Dikdörtgenler Prizması (a,b,c kenarlar):
– Yüzey Alanı = 2(ab + ac + bc), Hacim = a·b·c.
Küp (a kenar):
– Yüzey Alanı = 6a², Hacim = a³.
Silindir (r yarıçap, h yükseklik):
– Yanal Alan = 2πrh, Yüzey Alanı = 2πr(r + h), Hacim = πr²h.
Dik Daire Koni (r yarıçap, h yükseklik, anadoğru a = √(r²+h²)):
– Yanal Alan = πra, Yüzey Alanı = πr(r + a), Hacim = (πr²h)/3.
Küre (r yarıçap):
– Yüzey Alanı = 4πr², Hacim = (4/3)πr³.
💡 ÖĞRETMEN TAKTİĞİ (Sınav Stratejisi – Geometri %24 için):
– Üçgen: İç açı toplamı 180°, Pisagor a²+b²=c², alan = (taban×yükseklik)/2, benzerlik (AA, KAK, KKK).
– Dörtgen: Kare (alan=a²), dikdörtgen (alan=a·b), yamuk alan = (alt+üst)/2 × h.
– Çokgen: İç açı toplamı = (n–2)·180°, dış açı toplamı 360°, köşegen sayısı = n(n–3)/2.
– Çember/Daire: Çevre=2πr, alan=πr². Merkez açı = yay ölçüsü, çevre açı = yay/2.
– Analitik: İki nokta arası uzaklık = √[(x₂–x₁)²+(y₂–y₁)²], eğim m = (y₂–y₁)/(x₂–x₁).
– Katı Cisimler: Hacim formülleri (prizma: taban alanı × yükseklik, silindir: πr²h, koni: πr²h/3, küre: 4πr³/3).
– ÖSYM sorularında en çok: Üçgenler (Pisagor, eşitsizlik, alan, benzerlik), dörtgenler (alan, özellikler), çember (çevre açı, merkez açı, teğet), analitik (eğim, doğru denklemi, iki nokta arası uzaklık), katı cisimler (hacim).
💪 MOTİVASYON – Geometri, Matematiğin Görsel Sanatı!
Geometri, ÖABT İlköğretim Matematik’te %24 ağırlıkla yaklaşık 12 soru demek (Analiz ve Cebir ile eşit ağırlıkta). Üçgenler, dörtgenler, çember, analitik geometri ve katı cisimler alt başlıklarını kapsar. Şekil çizerek çalışmak ve formülleri ezberlemek başarıyı getirir.
📊 İstatistik (Son 5 Yıl – ÖABT İlköğretim Matematik): Üçgenler (Pisagor, benzerlik, alan) %35, Dörtgenler ve çokgenler %25, Çember ve daire %20, Analitik geometri %10, Katı cisimler %10.
🎯 GÜNLÜK TAKTİKLER (Geometri için Haftalık Plan):
– Pazartesi (Temel Kavramlar – Açılar): Dar, dik, geniş açı, tümler (90°), bütünler (180°), ters, yöndeş, iç ters. 10 açı sorusu.
– Salı (Üçgenler): Üçgen çeşitleri, üçgen eşitsizliği, Pisagor (3-4-5, 5-12-13). Alan = (taban×yükseklik)/2, Heron. Benzerlik (AA, KAK, KKK). 10 üçgen sorusu.
– Çarşamba (Dörtgenler ve Çokgenler): Kare (alan=a²), dikdörtgen (alan=a·b), paralelkenar (alan=a·h), eşkenar dörtgen (alan=e·f/2), yamuk (alan=(a+b)/2·h). Çokgen: iç açı toplamı (n-2)·180°, köşegen sayısı n(n-3)/2. 10 dörtgen/çokgen sorusu.
– Perşembe (Çember ve Daire – Analitik Geometri): Çember (merkez açı = yay, çevre açı = yay/2, teğet). Çevre=2πr, alan=πr². Analitik: iki nokta arası uzaklık, eğim, doğru denklemi. 10 çember/analitik sorusu.
– Cuma (Katı Cisimler): Hacim: prizma (taban alanı×y), küp (a³), silindir (πr²h), koni (πr²h/3), küre (4πr³/3). Yüzey alanı formülleri. 10 katı cisim sorusu.
– Cumartesi (Deneme): 20 karışık geometri sorusu (tüm alt konular). Süre tut (40 dk).
– Pazar (Eksikler): Yanlış yaptığınız soruların konularını tekrar edin, formülleri yazın.
– Formül Kartları: Üçgen iç açı toplamı 180°, Pisagor a²+b²=c², Alan(üçgen)=a·h/2, Kare alan=a², Dikdörtgen alan=a·b, Yamuk alan=(a+b)/2·h, Çember çevre=2πr, Daire alan=πr², İki nokta uzaklığı=√[(x₂–x₁)²+(y₂–y₁)²], Silindir hacim=πr²h, Koni hacim=πr²h/3, Küre hacim=4πr³/3.
– ÖSYM tuzağı (Geometride en çok yapılan hatalar): “Bir üçgende iki kenar toplamı üçüncü kenardan küçük olabilir” (YANLIŞ – büyük olmalı). “Pisagor her üçgende geçerlidir” (YANLIŞ – sadece dik üçgende). “Dikdörtgende köşegenler dik kesişir” (YANLIŞ – karede dik kesişir). “Çevre açı = gördüğü yay” (YANLIŞ – merkez açı = yay, çevre açı = yay/2). “Dairenin alanı 2πr” (YANLIŞ – çevresi 2πr, alan πr²). Bu tuzaklara dikkat!
📌 UNUTMAYIN: Geometri sorularını çözerken şekil çizmek çok önemlidir. Verilen bilgileri şekil üzerinde işaretleyin. Formülleri ezberledikten sonra, hangi durumda hangi formülü kullanacağınızı kavrayın. Pisagor, benzerlik, alan ve hacim formülleri en çok kullanılanlardır.
🔍 Kolay Soru 1
Bir üçgenin iç açıları toplamı kaç derecedir?
🔓 Kapsamlı Çözümü Göster
📖 Açıklama: Herhangi bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180°’dir (Öklid geometrisinde). Örnek: Dar açılı üçgen (50°, 60°, 70° → toplam 180°), dik üçgen (90°, 30°, 60° → toplam 180°), geniş açılı üçgen (120°, 30°, 30° → toplam 180°). Bu kural, çokgenlerin iç açıları toplamının özel bir durumudur (n=3 için (3-2)·180°=180°).
💡 Sınav İpucu: Bir üçgende iki açı biliniyorsa üçüncü açı = 180° – (a+b). Üçgenin dış açısı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
🔍 Kolay Soru 2
Bir karenin bir kenarı 5 cm ise alanı kaç cm²’dir?
🔓 Kapsamlı Çözümü Göster
📖 Açıklama: Karenin alanı = bir kenar uzunluğunun karesidir (A = a²). a=5 cm → A = 5² = 25 cm². Karenin çevresi = 4a = 20 cm. Köşegen uzunluğu = a√2 = 5√2 cm.
💡 Sınav İpucu: Kare (tüm kenar eşit, tüm açı 90°). Alan = a², çevre = 4a, köşegen = a√2.
🔍 Kolay Soru 3
Bir dik üçgende dik kenarlar 3 cm ve 4 cm ise hipotenüs kaç cm’dir?
🔓 Kapsamlı Çözümü Göster
📖 Açıklama: Pisagor teoremi: a² + b² = c² (c hipotenüs, a ve b dik kenarlar). 3² + 4² = 9 + 16 = 25 → c = √25 = 5 cm. 3-4-5 üçgeni, en bilinen Pisagor üçgenidir (5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 9-40-41 de önemlidir).
💡 Sınav İpucu: Pisagor (sadece dik üçgende). Hipotenüs daima en uzun kenardır. Özel dik üçgenler: 30-60-90 (kenar oranı 1:√3:2), 45-45-90 (1:1:√2), 3-4-5, 5-12-13.
🔍 Kolay Soru 4
Çapı 10 cm olan bir çemberin yarıçapı kaç cm’dir?
🔓 Kapsamlı Çözümü Göster
📖 Açıklama: Çemberde çap (R), yarıçapın (r) iki katıdır: R = 2r. R=10 cm → r = R/2 = 10/2 = 5 cm. Çemberin çevresi = 2πr = 2·π·5 = 10π cm. Dairenin alanı = πr² = π·25 = 25π cm².
💡 Sınav İpucu: Yarıçap (r), çap (R=2r). Çevre = 2πr, alan = πr². Merkez açı = gördüğü yay, çevre açı = yayın yarısı.
🔍 Kolay Soru 5
Bir eşkenar üçgenin bir iç açısı kaç derecedir?
🔓 Kapsamlı Çözümü Göster
📖 Açıklama: Eşkenar üçgende tüm kenar uzunlukları eşittir ve tüm iç açıları eşittir. Üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan, her bir iç açı = 180°/3 = 60°. Eşkenar üçgen aynı zamanda dar açılı ve ikizkenar üçgenin özel bir halidir. Çevre = 3a, alan = (√3/4)·a², yükseklik = (√3/2)·a.
💡 Sınav İpucu: Eşkenar üçgende tüm açılar 60°. Yükseklik, kenarortay, açıortay aynı doğrudur.
🔥 Zor Soru 1 – Dikdörtgen (Çevre ve Alan İlişkisi)
Bir dikdörtgenin uzun kenarı kısa kenarının 2 katıdır. Çevresi 48 cm ise alanı kaç cm²’dir?
🔓 ULTRA KAPSAMLI ÇÖZÜM
📖 Açıklama: Kısa kenar = a cm olsun. Uzun kenar = 2a cm (katı 2 katı). Dikdörtgenin çevresi = 2·(kısa kenar + uzun kenar) = 2·(a + 2a) = 2·3a = 6a. Çevre 48 cm verilmiş: 6a = 48 → a = 48/6 = 8 cm. Kısa kenar = 8 cm, uzun kenar = 2·8 = 16 cm. Alan = kısa kenar × uzun kenar = 8 × 16 = 128 cm². Sağlama: Çevre = 2·(8+16)=2·24=48 cm (doğru).
💡 Sınav İpucu: Dikdörtgen alan = a·b, çevre = 2(a+b). Karede a=b olduğu için alan=a², çevre=4a.
🔥 Zor Soru 2 – Yamuğun Alanı
Bir yamuğun alt tabanı 12 cm, üst tabanı 8 cm, yüksekliği 5 cm ise alanı kaç cm²’dir?
🔓 ULTRA KAPSAMLI ÇÖZÜM
📖 Açıklama: Yamuğun alan formülü: Alan = (alt taban + üst taban)/2 × yükseklik. Alt taban=12 cm, üst taban=8 cm, yükseklik (h)=5 cm. Alan = (12+8)/2 × 5 = (20/2) × 5 = 10 × 5 = 50 cm². Yamukta tabanlar paraleldir. İkizkenar yamukta yan kenarlar eşittir.
💡 Sınav İpucu: Yamuk alan = (a+b)/2·h (a,b paralel kenarlar, h yükseklik). Paralelkenar (a=b) için alan = a·h, üçgen (b=0) için alan = a·h/2.
🔥 Zor Soru 3 – Dairede Alanın Yarıçapa Bağlı Değişimi
Dairenin yarıçapı 2 katına çıkarılırsa alanı kaç katına çıkar?
🔓 ULTRA KAPSAMLI ÇÖZÜM
📖 Açıklama: Dairenin alan formülü: A = πr². Yarıçap r’den 2r’ye çıkarsa: A₂ = π(2r)² = π·4r² = 4πr² = 4·A₁. Yani yarıçap 2 kat artarsa alan 4 katına çıkar (yarıçapın karesi ile orantılı). Benzer şekilde: Yarıçap 3 katına çıkarsa alan 9 katına (3²=9), yarıçap yarıya inerse alan 1/4’üne iner (çünkü (1/2)²=1/4).
💡 Sınav İpucu: Daire alanı (πr²) yarıçapın karesi ile doğru orantılıdır. Çevre (2πr) yarıçapla doğru orantılıdır. Yarıçap 2 kat → çevre 2 kat, alan 4 kat.
📊 Uygulamalı Matematik %16
📖 ÖĞRETMEN NOTU – Uygulamalı Matematik (EKSİKSİZ)
🧮 PROBLEM ÇÖZME STRATEJİLERİ (Matematiksel Düşünme – Soyutlama, Muhakeme):
Denklem Kurma (Cebirsel Modelleme): Problemdeki bilinmeyenler uygun değişkenlerle (x, y, …) ifade edilir, verilen ilişkiler kullanılarak denklem(ler) yazılır ve çözülür.
Tablo ve Grafik Kullanımı (Verileri Düzenleme ve Yorumlama): Problem verileri tabloya aktarılır, sütun/çizgi/daire grafiklerinden eğilim, karşılaştırma, oran okunur.
Tahmin ve Varsayım (Akıl yürütme): Özellikle çok bilinmeyenli sistemlerde mantıklı bir başlangıç değeri belirlenip çözüme gidilir.
Muhakeme (Mantıksal çıkarım): Verilen öncüllerden sonuç çıkarma, koşullu ifadeler (ise, ancak ve ancak), kapsama ilişkileri.
Geriye Doğru Çalışma (Tersine işlem): Sonuçtan başlayarak adım adım geriye giderek başlangıç değerini bulma. Özellikle yüzde, işçi, havuz problemlerinde kullanışlıdır.
📈 VERİ ANALİZİ VE YORUMLAMA (Betimsel İstatistik – Tablo ve Grafik Okuma):
Tablo ve Grafik Türleri:
– Sütun Grafiği (çubuk grafik): Farklı kategorilerin büyüklüklerini karşılaştırma. Sütun yüksekliği veya uzunluğu değeri gösterir.
– Çizgi Grafiği: Zaman içindeki değişim (trend, artış/azalış, eğilim). Sürekli veriler için uygundur.
– Daire Grafiği (pasta grafik): Bir bütünün parçalarının yüzdesel dağılımını gösterir. Açı = (yüzde/100)×360° veya (parça/bütün)×360°.
– Histogram: Sürekli verilerin sınıflandırılmış dağılımı (sınıf aralıkları, frekans, yoğunluk).
Verileri Karşılaştırma ve Eğilim Belirleme: Grafikten artış/azalış hızı, dönüm noktaları, en yüksek/en düşük değerler, ortalama, medyan, mod yorumlanır.
Anlamlı Çıkarımlar Yapma (Gelecek tahmini, outlier aykırı değerler, korelasyon – nedensellik değil, ilişki): Veriler arasındaki ilişkiyi yorumlama (pozitif/negatif korelasyon), grafikten yaklaşık değer okuma.
💰 GÜNLÜK HAYAT PROBLEMLERİ (Temel Problem Türleri ve Çözüm Yöntemleri):
1. Yüzde Problemleri (Kar-Zarar, İndirim-Zam, Faiz):
– Kâr = Satış – Maliyet, Kâr % = (Kâr / Maliyet)×100. Zarar % = (Zarar / Maliyet)×100.
– İndirimli fiyat = Etiket fiyatı × (100 – indirim%)/100. Zam = Etiket fiyatı × (100 + zam%)/100.
– Basit Faiz: F = A·n·t / 100 (A: anapara, n: faiz oranı, t: süre (yıl)). Bileşik Faiz: A·(1 + n/100)^t.
2. Hız Problemleri (Ortalama Hız, Hareket, Karşılaşma, Yetişme):
– Ortalama Hız = Toplam yol / Toplam zaman.
– Aynı yönde hareket: Göreli hız = |v₁ – v₂|. Zıt yönde: Göreli hız = v₁ + v₂. Karşılaşma süresi = Başlangıç mesafesi / Göreli hız.
3. İşçi ve Havuz Problemleri (Ortak iş, Birlikte çalışma):
– Bir işçi bir işi a günde bitiriyorsa, günde işin 1/a’sını yapar. Birlikte çalışma: (1/a + 1/b + …)·t = 1 (t: birlikte bitirme süresi).
– Havuz problemleri: Dolduran musluk (+), boşaltan (–). Net dolum hızı = Σ(dolduran hızlar) – Σ(boşaltan hızlar).
4. Karışım Problemleri (Ağırlık, Yüzde, Fiyat karışımı):
– Karışım miktarı × karışım oranı = Σ(bileşen miktarı × bileşen oranı).
– Fiyat karışımı: Toplam maliyet / Toplam miktar = Ortalama fiyat.
5. Yaş Problemleri (Doğrusal denklemler, gelecek/geçmiş):
– x yıl sonra: (yaş + x), x yıl önce: (yaş – x). Yaşlar farkı sabittir.
6. Sayı Problemleri (Ardışık sayılar, rakam, basamak, çözümleme):
– İki basamaklı sayı: 10a + b (a: onlar basamağı, b: birler basamağı).
– Ardışık sayılar: n, n+1, n+2, …; Ardışık çift sayılar: 2n, 2n+2, …; Ardışık tek sayılar: 2n+1, 2n+3,…
🧠 MANTIKSAL AKIL YÜRÜTME (Sayısal Mantık, Sıralama, Eşleştirme, Yeterlilik):
Sayısal Mantık Soruları (Sayı dizileri, işlem yeteneği): Örüntüyü bulma (aritmetik/geometrik dizi, belirli kural), şekil-sayı ilişkisi.
Tablo ve Şema ile Sıralama (Permütasyon mantığı, akrabalık, sıra): Kişilerin yaş, boy, sınav notu, tercih sıraları verilir; koşullar kullanılarak sıralama yapılır.
Eşleştirme (Eşleme problemleri – Grafik teori, mantıksal çiftleme): Kişiler – meslekler, şehirler – özellikler, renkler – arabalar gibi eşleştirmeler.
Koşul Gerektiren Problemler (If-Then, Ve, Veya, Değil): Mantıksal önermeler, doğruluk tablosu, gereklilik – yeterlilik koşulları.
Yeterlilik Soruları (ÖSYM tipi – I, II, III yeterlilik): Bir soruyu çözmek için verilen bilgilerin tek başına veya birlikte yeterli olup olmadığını belirleme.
💡 ÖĞRETMEN TAKTİĞİ (Sınav Stratejisi – Uygulamalı Matematik %16 için):
– Yüzde: İndirimli fiyat = etiket × (100–indirim)/100, zam = etiket × (100+zam)/100. Maliyet, satış, kar/zarar.
– Hız: Ortalama hız = toplam yol / toplam zaman. Karşılaşma (v₁+v₂), yetişme (|v₁–v₂|).
– İşçi-Havuz: 1/a + 1/b = 1/t (birlikte iş süresi). Net dolum = dolduran – boşaltan.
– Yaş: x yıl sonra yaşlar +x, x yıl önce –x. Yaş farkı sabit.
– Karışım: Toplam madde = Σ(bileşen miktarı × yüzdesi). Ortalama fiyat = toplam maliyet / toplam miktar.
– Mantık: Tablo, sıralama, eşleştirme sorularında koşulları dikkatlice okuyun, olasılıkları listeleyin.
– ÖSYM sorularında en çok: Yüzde (kar-zarar, indirim), işçi-havuz, hız (karşılaşma, yetişme), yaş problemleri, mantıksal sıralama.
💪 MOTİVASYON – Uygulamalı Matematik, Matematiğin Günlük Hayattaki Yansıması!
Uygulamalı Matematik, ÖABT İlköğretim Matematik’te %16 ağırlıkla yaklaşık 8 soru demek. Problem çözme stratejileri, veri yorumlama, günlük hayat problemleri (yüzde, hız, işçi, havuz, yaş, karışım) ve mantıksal akıl yürütme alt başlıklarını kapsar. Bu konu, matematiğin gerçek hayattaki uygulamalarını gösterdiği için öğrenmesi keyiflidir.
📊 İstatistik (Son 5 Yıl – ÖABT İlköğretim Matematik): Yüzde (kar-zarar, indirim, faiz) %30, Hız (ortalama hız, karşılaşma, yetişme) %20, İşçi-Havuz problemleri %20, Yaş problemleri %15, Karışım ve sayı problemleri %10, Mantıksal akıl yürütme (sıralama, eşleştirme) %5.
🎯 GÜNLÜK TAKTİKLER (Uygulamalı Matematik için Haftalık Plan):
– Pazartesi (Yüzde Problemleri): Kar/zarar (Maliyet, satış), indirim/zam. 10 yüzde sorusu.
– Salı (Hız Problemleri): Ortalama hız = toplam yol / toplam zaman. Karşılaşma (v₁+v₂), yetişme (|v₁–v₂|). 10 hız sorusu.
– Çarşamba (İşçi – Havuz Problemleri): 1/a + 1/b = 1/t (birlikte). Net dolum hızı = dolduran – boşaltan. 10 işçi/havuz sorusu.
– Perşembe (Yaş – Karışım – Sayı Problemleri): Yaş (x yıl sonra/önce). Karışım (toplam madde/miktar). Sayı (ardışık, basamak). 10 problem.
– Cuma (Veri Yorumlama – Mantıksal Akıl Yürütme): Tablo, grafik (sütun, çizgi, daire). Sıralama, eşleştirme, yeterlilik soruları. 10 yorumlama/mantık sorusu.
– Cumartesi (Deneme): 20 karışık uygulamalı matematik sorusu (tüm alt konular). Süre tut (40 dk).
– Pazar (Eksikler): Yanlış yaptığınız soruların konularını tekrar edin, formülleri yazın.
– Formül Kartları: Kar% = (Satış–Maliyet)/Maliyet × 100, İndirimli = Etiket×(100–indirim)/100, Ortalama Hız = Toplam Yol / Toplam Zaman, İşçi: 1/a+1/b=1/t, Havuz: Net = Dolduran – Boşaltan, Yaş: x yıl sonra +x, önce –x.
– ÖSYM tuzağı (Uygulamalı Matematikte en çok yapılan hatalar): “%20 karla satış fiyatı maliyet × 1,2” (DOĞRU). “Ortalama hız = (v₁+v₂)/2” (YANLIŞ – sadece süreler eşitse geçerli). “İşçi problemlerinde birlikte çalışma süresi 1/(1/a+1/b)” (DOĞRU). “Havuz problemlerinde boşaltan hız negatif alınır” (DOĞRU). “Yaş problemlerinde yaş farkı değişir” (YANLIŞ – sabittir). “Mantık sorularında yeterlilik için sadece bir bilgi yeterlidir” (bazen iki bilgi birlikte gerekebilir). Bu tuzaklara dikkat!
📌 UNUTMAYIN: Uygulamalı matematik sorularını çözerken problemi dikkatlice okuyun, verilenleri ve isteneni belirleyin. Değişkenleri doğru atayın, birimlere (TL, km, saat, yıl) dikkat edin. Özellikle işçi ve havuz problemlerinde birim zamanda yapılan işi (1/a) kullanmak çözümü kolaylaştırır.
🔍 Kolay Soru 1
Bir mağaza bir ürüne %20 indirim yapıyor. İndirimli fiyat 80 TL ise ürünün indirimsiz fiyatı kaç TL’dir?
🔓 Kapsamlı Çözümü Göster
📖 Açıklama: %20 indirim yapılırsa indirimli fiyat, indirimsiz fiyatın %80’ine eşittir (100% – 20% = 80%). İndirimli fiyat = Etiket × 0,8 = 80 → Etiket = 80 / 0,8 = 100 TL. Sağlama: 100 TL’nin %20’si 20 TL indirim, indirimli fiyat 100 – 20 = 80 TL. Alternatif: İndirimli fiyat = Etiket × (100 – indirim)/100 formülü: Etiket = İndirimli × 100 / (100 – indirim) = 80 × 100 / 80 = 100 TL.
💡 Sınav İpucu: İndirimli fiyat = Etiket × (100 – indirim%)/100. Zam = Etiket × (100 + zam%)/100.
🔍 Kolay Soru 2
Bir işi 5 işçi 12 günde bitiriyor. Aynı işi 10 işçi kaç günde bitirir?
🔓 Kapsamlı Çözümü Göster
📖 Açıklama: İşçi sayısı ile işin bitme süresi ters orantılıdır (işçi sayısı artarsa süre azalır). 5 işçi × 12 gün = 60 işçi·gün (işin miktarı sabit). 10 işçi × x gün = 60 → x = 60 / 10 = 6 gün. Alternatif: 5 işçi 12 günde, işçi sayısı 2 katına çıkınca (10 işçi) süre yarıya iner: 12 / 2 = 6 gün.
💡 Sınav İpucu: Ters orantı: İşçi sayısı × süre = sabit (iş miktarı). Aynı iş için işçi sayısı arttıkça süre ters orantılı olarak azalır.
🔍 Kolay Soru 3
Bir otomobil 3 saatte 240 km yol alıyorsa, saatteki ortalama hızı kaç km/s’dir?
🔓 Kapsamlı Çözümü Göster
📖 Açıklama: Ortalama hız = Toplam yol / Toplam zaman. Toplam yol = 240 km, toplam zaman = 3 saat. Hız = 240 / 3 = 80 km/s. Bu hız sabit kabul edilirse (ortalama). Eğer yol boyunca hız değişmişse bile ortalama böyle hesaplanır.
💡 Sınav İpucu: Ortalama hız = Toplam yol / Toplam zaman. (v₁+v₂)/2 sadece süreler eşitse geçerlidir.
🔍 Kolay Soru 4
Bir havuzu dolduran bir musluk saatte 50 litre su akıtıyor. Havuzun hacmi 300 litre ise kaç saatte dolar?
🔓 Kapsamlı Çözümü Göster
📖 Açıklama: Musluğun debisi (saatte akıttığı su miktarı) = 50 L/saat. Havuz hacmi = 300 L. Süre = Hacim / Debi = 300 / 50 = 6 saat. Eğer havuz dolduran ve boşaltan birden fazla musluk varsa net debi = dolduranların toplam debisi – boşaltanların toplam debisi.
💡 Sınav İpucu: Havuz problemlerinde net dolum hızı = dolduran – boşaltan. Süre = Toplam hacim / Net debi.
🔍 Kolay Soru 5
Bir babanın yaşı 40, oğlunun yaşı 10’dur. Kaç yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 3 katı olur?
🔓 Kapsamlı Çözümü Göster
📖 Açıklama: x yıl sonra babanın yaşı = 40 + x, oğlunun yaşı = 10 + x. İstenen: 40 + x = 3·(10 + x) → 40 + x = 30 + 3x → 40 – 30 = 3x – x → 10 = 2x → x = 5 yıl. Kontrol: 5 yıl sonra baba 45, oğul 15, 45 = 3×15 (doğru).
💡 Sınav İpucu: Yaş problemlerinde yaş farkı sabittir (baba-oğul farkı her zaman 30). x yıl sonra: yaşlar +x, x yıl önce: yaşlar –x.
🔥 Zor Soru 1 – Kâr-Zarar (Yüzde)
Bir malın %20 karla satış fiyatı 240 TL’dir. Bu mal %30 zararla satılırsa satış fiyatı kaç TL olur?
🔓 ULTRA KAPSAMLI ÇÖZÜM
📖 Açıklama: Önce malın maliyetini (alış fiyatı) bulalım. %20 karla satış fiyatı = Maliyet × 1,2 = 240 TL → Maliyet = 240 / 1,2 = 200 TL. %30 zararla satış fiyatı = Maliyet × (100 – 30)/100 = Maliyet × 0,7 = 200 × 0,7 = 140 TL. Sağlama: Maliyet 200 TL, %30 zarar = 60 TL zarar → satış fiyatı 200 – 60 = 140 TL.
💡 Sınav İpucu: Kâr % = (Satış – Maliyet)/Maliyet × 100, Zarar % = (Maliyet – Satış)/Maliyet × 100. Kârda satış = maliyet × (100 + kâr%)/100, zararda satış = maliyet × (100 – zarar%)/100.
🔥 Zor Soru 2 – Yaş Problemleri
Ali, Veli’den 4 yaş büyüktür. 5 yıl sonra yaşları toplamı 42 olacağına göre Ali’nin bugünkü yaşı kaçtır?
🔓 ULTRA KAPSAMLI ÇÖZÜM
📖 Açıklama: Veli’nin bugünkü yaşı = V olsun. Ali = V + 4. 5 yıl sonra: Ali’nin yaşı = (V + 4) + 5 = V + 9, Veli’nin yaşı = V + 5. Yaşlar toplamı: (V + 9) + (V + 5) = 2V + 14 = 42 → 2V = 28 → V = 14. Ali = V + 4 = 18. Kontrol: Bugün Ali 18, Veli 14. 5 yıl sonra Ali 23, Veli 19, toplam 42 (doğru).
💡 Sınav İpucu: Yaş problemlerinde yaş farkı sabittir (Ali – Veli = 4). x yıl sonra her ikisinin yaşı x artar. Toplam yaş artışı = 2x.
🔥 Zor Soru 3 – İşçi Problemleri
Bir işi Ahmet 6 saatte, Mehmet ise 4 saatte bitirebiliyor. Birlikte çalışırlarsa işin 5/12’sini kaç saatte bitirirler?
🔓 ULTRA KAPSAMLI ÇÖZÜM
📖 Açıklama: Ahmet 6 saatte tamamını bitiriyorsa, saatte işin 1/6’sını yapar. Mehmet 4 saatte bitiriyorsa, saatte işin 1/4’ünü yapar. Birlikte çalışırlarsa 1 saatte yaptıkları iş = 1/6 + 1/4 = (2/12 + 3/12) = 5/12. Yani birlikte çalışarak saatte işin 5/12’sini bitirirler. O halde işin 5/12’sini tamamlamak için 1 saat gerekir. Alternatif: İşin tamamını birlikte bitirme süresi: 1/(1/6+1/4) = 1/(5/12) = 12/5 = 2,4 saat. Bu durumda işin 5/12’si = (5/12)×(12/5) = 1 saat.
💡 Sınav İpucu: İşçi problemlerinde her işçinin birim zamanda yaptığı iş = 1/kendi süresi. Birlikte çalışma süresi = 1 / (1/a + 1/b). İşin belli bir kısmı için: t = (yapılacak iş miktarı) / (birim zamanda yapılan iş).
🎯 AGS-ÖABT İlköğretim Matematik’te Tam Başarı İçin Doğru Destek
Uzman eğitmenlerle Analiz, Cebir, Geometri ve Uygulamalı Matematik – birebir özel ders ve AGS+ÖABT kursları.
📞 0535 778 95 96 | ✉️ info@xyzakademi.com.tr
