11. Sınıf Matematik Yazılıya Hazırlık Konu Anlatımı ve Sınav Soruları
📐 11. Sınıf Matematik Yazılıya Hazırlık
Aşağıdaki butonlardan istediğiniz konuya tıklayarak detaylara ulaşabilirsiniz.
📏 Trigonometrik Fonksiyonlar
📈 Analitik Geometri
📊 Fonksiyonlarda Uygulamalar
✏️ Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri
⚫ Çember ve Daire
🧊 Uzay Geometri
🎲 Olasılık
📖 İçindekiler – Konu Başlıkları (Tıklayarak ilgili konuya gidin)
📝 MEB Senaryolarına Göre Deneme Sınavları
📌 1. Dönem 1. Yazılı
📖 KONU ÖZETİ (Detaylı)
📍 Yönlü Açı Nedir? Bir açı, başlangıç noktası (orijin) ve başlangıç ışını (pozitif x ekseni) ile tanımlanır. Açı saat yönünün tersine ölçülürse pozitif (+), saat yönünde ölçülürse negatif (-) yönlüdür. Bu, trigonometride sürekli karşımıza çıkan temel bir kavramdır. Yönlü açılar, koordinat sisteminde bir noktanın konumunu belirlemek için kullanılır.
📍 Açı Ölçü Birimleri:
– Derece (°): Bir tam çember 360°’dir. 1° = 60′ (dakika), 1′ = 60″ (saniye). Günlük hayatta ve geometride en yaygın kullanılan birimdir.
– Radyan (rad): Bir çemberin yarıçap uzunluğundaki yayın gördüğü merkez açıdır. Bir tam çember 2π rad’dır. Radyan, trigonometrik fonksiyonların tanımında ve analizde temel birimdir.
– Grad (gon): Bir tam çember 400 grad’dır. Haritacılık ve jeodezide kullanılır, sınavlarda nadiren görülür.
📍 Dönüşüm Formülleri:
– Derece → Radyan: α (rad) = α (derece) × (π/180)
– Radyan → Derece: α (derece) = α (rad) × (180/π)
– Derece → Grad: α (grad) = α (derece) × (10/9)
– Radyan → Grad: α (grad) = α (rad) × (200/π)
Bu dönüşümler, farklı birimlerle çalışırken çok önemlidir.
📍 Esas Ölçü: Bir açının [0°, 360°) veya [0, 2π) aralığındaki karşılığıdır. Esas ölçü bulunurken açıya 360° veya 2π’nin katları eklenir/çıkarılır. Negatif açılarda 360° eklenir. Örn: 400°’nin esas ölçüsü 40°’dir (400−360). −50°’nin esas ölçüsü 310°’dir (−50+360).
📍 Birim Çember: Merkezi orijinde (0,0) ve yarıçapı 1 olan çemberdir. Birim çember üzerinde bir açının oluşturduğu P(x,y) noktası için x = cosθ, y = sinθ olarak tanımlanır. Bu, trigonometrik fonksiyonların temelidir. Birim çemberde açılar pozitif yönde (saat yönünün tersi) ölçülür.
📍 Trigonometrik Fonksiyonlar (Birim Çemberde):
– sinθ = y (ordinat)
– cosθ = x (apsis)
– tanθ = sinθ/cosθ = y/x (x≠0)
– cotθ = cosθ/sinθ = x/y (y≠0)
– secθ = 1/cosθ (x≠0)
– cscθ = 1/sinθ (y≠0)
Bu oranlar, birim çember üzerindeki herhangi bir açı için geçerlidir.
📍 Özel Açıların Trigonometrik Değerleri (Derece ve Radyan):
| Açı (Derece) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| Açı (Radyan) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 |
| sin | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tan | 0 | √3/3 | 1 | √3 | tanımsız |
| cot | tanımsız | √3 | 1 | √3/3 | 0 |
Bu değerleri ezberlemek trigonometri sorularında hız kazandırır.
📍 Bölgelere Göre Trigonometrik Fonksiyonların İşaretleri:
– I. Bölge (0°−90°): sin+, cos+, tan+, cot+
– II. Bölge (90°−180°): sin+, cos−, tan−, cot−
– III. Bölge (180°−270°): sin−, cos−, tan+, cot+
– IV. Bölge (270°−360°): sin−, cos+, tan−, cot−
Bu işaret kuralları, açıların hangi bölgede olduğunu anlamak ve trigonometrik değerlerin işaretini belirlemek için temeldir.
📍 Koordinat Düzleminde Açılar: Bir açının standart konumu, başlangıç ışını pozitif x ekseni ile çakışacak şekilde yerleştirilir. Açının bitiş kenarı hangi bölgede bitiyorsa açı o bölgededir. Bu, trigonometrik fonksiyonların işaretini belirlemede kritiktir.
🎯 Öğrenci Koçu Notu
✨ Taktik: Açılar söz konusu olduğunda aklınıza bir saat veya bir çember gelsin. Saat yönünün tersi pozitif (+), saat yönü negatif (-) yönlüdür. Dönüşümlerde `π rad = 180°` eşitliğini mutlaka hatırlayın. Esas ölçü bulurken 360° veya 2π ekleme/çıkarma yapın. Özel açı değerlerini tablo halinde ezberleyin.
💪 Motivasyon: Bu konu, trigonometrinin temelidir. Bir uçağın rotasını belirlemek, bir müzik sesinin perdesini hesaplamak, bir video oyununda karakteri döndürmek, bir robotun kolunu hareket ettirmek veya bir uydunun konumunu hesaplamak için açıları ve trigonometriyi kullanırsınız. Trigonometri, mühendislik, fizik, astronomi, bilgisayar grafikleri, oyun geliştirme ve daha birçok alanda vazgeçilmezdir.
📌 Püf Noktası: Radyanı dereceye çevirirken `× (180/π)` kullanın. Dereceyi radyana çevirirken `× (π/180)` kullanın. 180° = π rad olduğunu unutmayın. Birim çemberde cos x-ekseni, sin y-eksenidir. Tan = sin/cos, cot = cos/sin. Özel açıların değerlerini bir tablo halinde not alarak tekrar edin.
⚠️ Sık Yapılan Hata: Yönlü açıda negatif işareti atlamak. Dönüşüm yaparken π/180 ve 180/π’yi karıştırmak. Esas ölçüyü bulurken 360°’nin katlarını yanlış eklemek/çıkarmak. Özel açı değerlerini ezberlememek. Hangi bölgede hangi trigonometrik fonksiyonun pozitif/negatif olduğunu karıştırmak.
🧠 Ezberleme İpucu: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° için sin değerleri sırasıyla √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 şeklinde ezberlenebilir. Cos değerleri bunun tersidir. Tan = sin/cos. Birim çemberde işaretler için “All Students Take Calculus” (ASTC) kısaltması: I. Bölge (All pozitif), II. Bölge (Sin pozitif), III. Bölge (Tan pozitif), IV. Bölge (Cos pozitif).
📈 Sınav Taktikleri: Soruda “esas ölçü” istiyorsa hemen 360° veya 2π ekle/çıkar. Dönüşüm sorusunda π’yi 180° olarak al. Özel açı sorusunda tablodan değeri doğrudan yaz. Bölge sorusunda işaret kurallarını uygula. Birim çember sorularında koordinatları doğru oku (cos x, sin y).
🔍 Derinlemesine Bakış: Yönlü açılar ve trigonometrik fonksiyonlar, periyodik olayları (ses dalgaları, ışık dalgaları, mevsimler, kalp atışı) modellemede kullanılır. Fourier analizi, sinyal işleme, kontrol sistemleri, robotik, navigasyon, astronomi, kriptografi gibi alanlar trigonometri üzerine kuruludur. Bu konuyu iyi anlamak, ileri matematik ve fen bilimleri için sağlam bir temel oluşturur.
🥉 SEVİYE 1 – Temel
Soru 1: 60° kaç radyandır? (π=3 alınız.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: 60° × π/180 = 60π/180 = π/3 rad.
Adım 3: π=3 alınırsa 3/3 = 1 rad.
Sonuç: 1 rad.
Soru 2: 1500°’nin esas ölçüsü kaç derecedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: 1500 / 360 = 4 tam tur (1440°) + kalan 60°.
Adım 3: 1500 − 4×360 = 1500−1440 = 60°.
Sonuç: 60°.
Soru 3: π/4 radyan kaç derecedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: (π/4) × (180/π) = 180/4 = 45°.
Sonuç: 45°.
Soru 4: −30°’nin esas ölçüsü kaç derecedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: −30° + 360° = 330°.
Sonuç: 330°.
Soru 5: Birim çemberde cos0° değeri kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: cosθ = x koordinatı = 1.
Sonuç: cos0° = 1.
Soru 6: sin90° değeri kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: sinθ = y koordinatı = 1.
Sonuç: sin90° = 1.
Soru 7: 135° kaç radyandır? (π cinsinden.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: 135/180 = 3/4 (sadeleştirilmiş).
Adım 3: 135π/180 = 3π/4 rad.
Sonuç: 3π/4.
Soru 8: 3π/2 radyan kaç derecedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 270°.
Soru 9: Birim çemberde θ=45° için (cosθ, sinθ) koordinatları nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: Koordinatlar (cos45, sin45) = (√2/2, √2/2).
Sonuç: (√2/2, √2/2).
Soru 10: 300°’nin esas ölçüsü kaç derecedir? (Zaten esas ölçü aralığında mı?)
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: Dolayısıyla esas ölçü 300°’dir.
Sonuç: 300°.
⭐ SEVİYE 2 – Orta
Soru 1: −210°’nin esas ölçüsü kaç radyandır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: 150°’yi radyana çevirelim: 150 × π/180 = 5π/6 rad.
Sonuç: 5π/6.
Soru 2: 2π/3 radyanın esas ölçüsü kaç derecedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: Dereceye çevirelim: (2π/3) × (180/π) = 120°.
Sonuç: 120°.
Soru 3: sin150° değeri kaçtır? (Birim çember ve özel açı ilişkisi ile.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: sin150° = sin30° = 1/2.
Sonuç: 1/2.
Soru 4: cos225° değeri kaçtır? (Bölge ve işaret kuralları ile.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: cos225° = −cos45° = −√2/2.
Sonuç: −√2/2.
Soru 5: tan300° değeri kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: tan300° = −tan60° = −√3.
Sonuç: −√3.
Soru 6: −120°’nin esas ölçüsü kaç radyandır? (Derece cinsinden bulup dönüştürün.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: 240°’yi radyana çevirelim: 240 × π/180 = 4π/3 rad.
Sonuç: 4π/3.
Soru 7: Birim çemberde θ=180° için koordinatlar nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: cos180° = −1, sin180° = 0.
Sonuç: (−1,0).
Soru 8: 420°’nin esas ölçüsü kaç derecedir? Hangi bölgededir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: 60° I. bölgededir.
Sonuç: Esas ölçü 60°, I. bölge.
Soru 9: cot135° değeri kaçtır? (cot = cos/sin kullanarak.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: cos135° = −√2/2, sin135° = √2/2.
Adım 3: cot135° = cos/sin = (−√2/2)/(√2/2) = −1.
Sonuç: −1.
Soru 10: 5π/4 radyanın esas ölçüsü kaç derecedir? Hangi bölgededir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: 225° esas ölçü aralığında (0−360). III. bölgededir.
Sonuç: 225°, III. bölge.
🔥 SEVİYE 3 – İleri
Soru 1: 11π/6 rad’lık açının esas ölçüsü kaç derecedir? (Zaten esas ölçü aralığında mı?)
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: Dereceye çevirelim: 11π/6 × 180/π = 11×30 = 330°.
Sonuç: 330°.
Soru 2: sin(−30°) değeri kaçtır? (Negatif açı ve işaret kuralları.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: sin(−30°) = −sin30° = −1/2.
Sonuç: −1/2.
Soru 3: cos(−150°) değeri kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: cos(−150°) = cos150° = cos(180−30) = −cos30° = −√3/2.
Sonuç: −√3/2.
Soru 4: tan(−45°) değeri kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: tan(−45°) = −tan45° = −1.
Sonuç: −1.
Soru 5: Birim çemberde θ=270° için koordinatlar nedir? Hangi bölgededir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: cos270°=0, sin270°=−1. Bölge: IV. bölge? Aslında 270° eksen üzerinde, bölge değil.
Sonuç: (0,−1), eksen üzerinde.
Soru 6: 750°’nin esas ölçüsü kaç derecedir? Hangi bölgededir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: 30° I. bölgededir.
Sonuç: Esas ölçü 30°, I. bölge.
Soru 7: sin(5π/3) değeri kaçtır? (Birim çember ve özel açı ilişkisi.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: sin300° = −sin60° = −√3/2.
Sonuç: −√3/2.
Soru 8: cos(7π/4) değeri kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: cos315° = cos45° = √2/2.
Sonuç: √2/2.
Soru 9: θ=120° için tanθ + cotθ değerini hesaplayınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: tan120° = −tan60° = −√3. cot120° = −cot60° = −√3/3.
Adım 3: Toplam = −√3 − √3/3 = −(3√3+√3)/3 = −4√3/3.
Sonuç: −4√3/3.
Soru 10: −7π/4 radyanın esas ölçüsü kaç radyandır? (Negatif radyan açısı.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: π/4 rad, [0, 2π) aralığında olduğu için esas ölçü π/4’tür.
Sonuç: π/4.
📌 GERÇEK HAYAT UYGULAMALARI
Bir geminin rotası belirlenirken, bir uydunun konumu hesaplanırken, bir robot kolunun hareketi programlanırken, bir oyuncunun şut açısı hesaplanırken, bir mimari projede eğim açıları belirlenirken, bir müzik sesinin frekansı analiz edilirken veya bir video oyununda karakter döndürülürken yönlü açılar ve trigonometrik fonksiyonlar kullanılır. Ayrıca GPS, radar, sonar, tıp (ultrason, MRI), astronomi, fizik (dalga hareketi, optik), elektronik (AC devreleri), bilgisayar grafikleri (3D dönüşümler) gibi birçok alanda trigonometri temeldir.
📌 1. Dönem 1. Yazılı
📖 KONU ÖZETİ (Detaylı)
📍 Birim Çember ve Trigonometrik Fonksiyonlar: Birim çember, merkezi orijinde (0,0) ve yarıçapı 1 olan çemberdir. Bir açının bitiş kenarı birim çemberi P(x,y) noktasında kessin. Bu durumda:
– sinθ = y (ordinat)
– cosθ = x (apsis)
– tanθ = sinθ/cosθ = y/x (x ≠ 0)
– cotθ = cosθ/sinθ = x/y (y ≠ 0)
– secθ = 1/cosθ (x ≠ 0)
– cscθ = 1/sinθ (y ≠ 0)
Bu tanımlar, açı 0° ile 360° (veya 0 ile 2π) arasında olmasa da geçerlidir. Açılar pozitif yönde (saat yönünün tersi) ölçülür.
📍 Temel Özdeşlikler:
– sin²θ + cos²θ = 1 (en temel özdeşlik)
– tanθ = sinθ/cosθ (cosθ ≠ 0)
– cotθ = cosθ/sinθ (sinθ ≠ 0)
– tanθ · cotθ = 1
– sec²θ = 1 + tan²θ
– csc²θ = 1 + cot²θ
Bu özdeşlikler, trigonometrik ifadeleri sadeleştirme ve denklem çözmede çok işe yarar.
📍 Özel Açıların Trigonometrik Değerleri:
| Açı | 0° (0) | 30° (π/6) | 45° (π/4) | 60° (π/3) | 90° (π/2) |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tan | 0 | √3/3 | 1 | √3 | tanımsız |
| cot | tanımsız | √3 | 1 | √3/3 | 0 |
Bu değerler, trigonometri sorularında sıkça karşımıza çıkar. Ezberlenmesi önerilir.
📍 Bölgelere Göre İşaretler: Trigonometrik fonksiyonların işaretleri, açının bulunduğu bölgeye göre değişir.
- I. Bölge (0°−90°): sin(+), cos(+), tan(+), cot(+)
- II. Bölge (90°−180°): sin(+), cos(-), tan(-), cot(-)
- III. Bölge (180°−270°): sin(-), cos(-), tan(+), cot(+)
- IV. Bölge (270°−360°): sin(-), cos(+), tan(-), cot(-)
“ASTC” (All Students Take Calculus) kısaltması ile akılda tutulabilir: I. bölge tümü pozitif, II. bölge sin, III. bölge tan, IV. bölge cos.
📍 Periyodiklik ve Grafikler:
– sin ve cos fonksiyonlarının periyodu 2π’dir. sin(θ+2π)=sinθ, cos(θ+2π)=cosθ.
– tan ve cot fonksiyonlarının periyodu π’dir. tan(θ+π)=tanθ, cot(θ+π)=cotθ.
– Grafikler: sin ve cos dalga şeklinde (sinüzoidal), tan düşey asimptotlara sahip, cot da benzer. Genlik, periyot, faz kayması ve dikey kayma ile grafikler dönüştürülebilir.
– f(x)=A·sin(bx+c)+d için: Genlik = |A|, Periyot = 2π/|b|, Faz kayması = -c/b, Dikey kayma = d.
📍 Ters Trigonometrik Fonksiyonlar (Giriş): arcsin, arccos, arctan fonksiyonları, trigonometrik denklemlerin çözümünde kullanılır. Örneğin sinx=1/2 ise x=arcsin(1/2)=30° veya 150° (II. bölgede).
📍 Trigonometrik Denklemler: sinx=a, cosx=a, tanx=a formundaki denklemlerin çözümü. Kökler genel formüllerle ifade edilir: sinx=sina için x=a+2kπ veya x=π−a+2kπ; cosx=cosa için x=±a+2kπ; tanx=tana için x=a+kπ (k∈Z).
🎯 Öğrenci Koçu Notu
✨ Taktik: Birim çemberi aklınıza kazıyın. Sinüs y-ekseni, kosinüs x-ekseni, tanjant eğim olarak düşünülebilir. Özel açıların değerlerini ezberleyin. İşaretleri ASTC ile hatırlayın. Periyot formüllerini unutmayın. Trigonometrik denklemleri çözerken genel çözümü yazmayı ihmal etmeyin.
💪 Motivasyon: Trigonometri, sadece matematik sınavları için değil; ses dalgaları, deprem dalgaları, müzik, tıbbi görüntüleme (ultrason, MRI), elektrik mühendisliği (alternatif akım), radar, sonar, astronomi, navigasyon, bilgisayar grafikleri, oyun geliştirme ve daha birçok alanda kullanılır. Bu konuyu iyi anlamak, fen ve mühendislik alanlarında büyük avantaj sağlar.
📌 Püf Noktası: sin ve cos değerleri -1 ile 1 arasındadır. tan ve cot her reel değeri alabilir. Özel açı değerlerini tablo halinde ezberleyin. Periyot sorularında formülleri kullanın. Grafik dönüşümlerinde genlik, periyot, faz ve dikey kaymayı doğru belirleyin.
⚠️ Sık Yapılan Hata: sin ve cos değerlerinin -1 ile 1 arasında olduğunu unutmak. Bölge işaretlerini yanlış hatırlamak. Periyot formülünde 2π/|b|’yi unutmak. Trigonometrik denklemlerde genel çözümü yazmamak. tan ve cot’da tanımsız olduğu açıları (90°, 270° gibi) göz ardı etmek.
🧠 Ezberleme İpucu: Özel açılar için sin değerleri √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 şeklinde (0°,30°,45°,60°,90°). Cos bunun tersi. Tan = sin/cos. ASTC: I. Bölge (All pozitif), II. Bölge (Sin pozitif), III. Bölge (Tan pozitif), IV. Bölge (Cos pozitif).
📈 Sınav Taktikleri: Önce açının hangi bölgede olduğunu belirleyin. Özel açı ise değerini doğrudan yazın. Değilse özdeşlikler veya dönüşümlerle bulun. Trigonometrik denklemlerde genel çözümü unutmayın. Grafik sorusunda genlik, periyot, faz ve dikey kaymayı etiketleyin.
🔍 Derinlemesine Bakış: Trigonometrik fonksiyonlar, periyodik olayların (salınım, dalga, döngü) matematiksel modelidir. Fourier serileri, sinyal işleme, kontrol sistemleri, robotik, kriptografi, tıp, mühendislik gibi alanların temelini oluşturur. Ayrıca trigonometri, karmaşık sayılar ve üstel fonksiyonlarla (Euler formülü) derin bağlantılara sahiptir.
🥉 SEVİYE 1 – Temel
Soru 1: cos45° + sin45° işleminin sonucu kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: Toplam = √2/2 + √2/2 = √2.
Sonuç: √2.
Soru 2: Birim çemberde 120°’lik açının kosinüs değeri nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: 120° = 180°−60° → cos120° = −cos60° = −1/2.
Sonuç: −1/2.
Soru 3: sin30° + cos60° işleminin sonucu kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: Toplam = 1/2 + 1/2 = 1.
Sonuç: 1.
Soru 4: tan45° değeri kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 1.
Soru 5: sin²30° + cos²30° ifadesinin değeri nedir? (Temel özdeşlikten yararlanarak.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: θ=30° için değer 1’dir.
Sonuç: 1.
Soru 6: 150°’nin sinüs değeri kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: 150° = 180°−30° → sin150° = sin30° = 1/2.
Sonuç: 1/2.
Soru 7: Birim çemberde 270°’lik açının sinüs değeri nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: sin270° = y = −1.
Sonuç: −1.
Soru 8: cot60° değeri kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: √3/3.
Soru 9: cos0° + sin90° işleminin sonucu kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: Toplam = 1+1=2.
Sonuç: 2.
Soru 10: Birim çemberde 90°’lik açının koordinatları nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: cos90°=0, sin90°=1 → (0,1).
Sonuç: (0,1).
⭐ SEVİYE 2 – Orta
Soru 1: tan225° aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 1 B) -1 C) √3 D) -√3
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: tan225° = tan45° = 1.
Sonuç: A) 1.
Soru 2: sin135° + cos135° işleminin sonucu kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: sin135° = sin45° = √2/2, cos135° = −cos45° = −√2/2.
Adım 3: Toplam = √2/2 − √2/2 = 0.
Sonuç: 0.
Soru 3: cos(5π/6) değeri nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: cos150° = −cos30° = −√3/2.
Sonuç: −√3/2.
Soru 4: sin(−60°) değeri kaçtır? (Negatif açı özelliği.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: sin(−60°) = −sin60° = −√3/2.
Sonuç: −√3/2.
Soru 5: tan(3π/4) değeri nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: tan135° = −tan45° = −1.
Sonuç: −1.
Soru 6: sin²75° + cos²75° ifadesinin değeri kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: θ=75° için değer 1’dir.
Sonuç: 1.
Soru 7: cos330° değeri kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: cos330° = cos30° = √3/2.
Sonuç: √3/2.
Soru 8: cot(7π/4) değeri kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: cot315° = −cot45° = −1.
Sonuç: −1.
Soru 9: sin(5π/3) değeri kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: sin300° = −sin60° = −√3/2.
Sonuç: −√3/2.
Soru 10: tan(5π/6) değeri kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: tan150° = −tan30° = −√3/3.
Sonuç: −√3/3.
🔥 SEVİYE 3 – İleri
Soru 1: sinα = 4/5 ve α II. bölgede ise cosα ve tanα değerlerini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: II. bölgede cos negatif → cosα=−3/5.
Adım 3: tanα = sin/cos = (4/5)/(−3/5) = −4/3.
Sonuç: cosα=−3/5, tanα=−4/3.
Soru 2: cosβ = −1/3 ve β III. bölgede ise sinβ ve tanβ değerlerini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: III. bölgede sin negatif → sinβ=−2√2/3.
Adım 3: tanβ = sin/cos = (−2√2/3)/(−1/3) = 2√2.
Sonuç: sinβ=−2√2/3, tanβ=2√2.
Soru 3: tanx = 2 ve x dar açı ise sinx ve cosx değerlerini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: sin²+cos²=1 → (2cos)²+cos²=1 → 5cos²=1 → cos=1/√5 (dar açı pozitif).
Adım 3: sinx = 2/√5 = 2√5/5, cosx = √5/5.
Sonuç: sinx=2√5/5, cosx=√5/5.
Soru 4: cosx = 0,6 ve x dar açı ise sinx ve tanx değerlerini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: tanx = (4/5)/(3/5)=4/3.
Sonuç: sinx=4/5, tanx=4/3.
Soru 5: sin15° değerini sin(45°−30°) formülü ile hesaplayınız. (Toplam-fark formülü.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: = (√2/2)(√3/2) − (√2/2)(1/2) = (√6−√2)/4.
Sonuç: (√6−√2)/4.
Soru 6: cos75° değerini cos(45°+30°) formülü ile hesaplayınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: = (√2/2)(√3/2) − (√2/2)(1/2) = (√6−√2)/4.
Sonuç: (√6−√2)/4.
Soru 7: f(x)=2sin(3x−π/2)+1 fonksiyonunun genliğini, periyodunu ve faz kaymasını bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: Periyot = 2π/|b| = 2π/3.
Adım 3: Faz kayması: bx+c=0 → 3x−π/2=0 → x=π/6 (sağa).
Adım 4: Dikey kayma d=1.
Sonuç: Genlik=2, Periyot=2π/3, Faz kayması=π/6 sağa, Dikey kayma=1.
Soru 8: cosx = 1/2 denkleminin [0, 2π) aralığındaki çözümlerini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: x = π/3, 5π/3.
Soru 9: sinx = −√3/2 denkleminin [0, 2π) aralığındaki çözümlerini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: Negatif olduğu için III. ve IV. bölgeler: x = π + π/3 = 4π/3, x = 2π − π/3 = 5π/3.
Sonuç: 4π/3, 5π/3.
Soru 10: tanx = −1 denkleminin [0, 2π) aralığındaki çözümlerini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: tan45°=1, bu nedenle II. bölgede x=π−π/4=3π/4, IV. bölgede x=2π−π/4=7π/4.
Sonuç: 3π/4, 7π/4.
📌 GERÇEK HAYAT UYGULAMALARI
Bir uçağın iniş açısını hesaplamak, bir mühendislik yapısının yüksekliğini ölçmek, ses dalgalarını analiz etmek, deprem dalgalarının büyüklüğünü hesaplamak, elektrik devrelerinde alternatif akımı modellemek, GPS cihazlarının konum belirlemesi, robotik kolların hareket planlaması, bilgisayar grafiklerinde 3D dönüşümler, oyun geliştirmede karakter animasyonları, tıbbi görüntüleme (ultrason, MRI) ve daha birçok alanda trigonometrik fonksiyonlar kullanılır.
📌 1. Dönem 1. Yazılı
📖 KONU ÖZETİ (Detaylı)
📍 Koordinat Sistemi ve Temel Kavramlar: Düzlemde birbirini dik kesen iki sayı doğrusu (x ve y eksenleri) ile oluşturulan sistemdir. Bir nokta (x, y) ikilisi ile gösterilir. x: apsis, y: ordinat. Eksenlerin kesişim noktası orijin (0,0)’dır.
📍 İki Nokta Arası Uzaklık: A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) arası uzaklık: |AB| = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]. Bu, Pisagor teoreminin koordinat düzlemindeki uygulamasıdır.
📍 Orta Nokta: A ve B noktalarının orta noktası M(x₀, y₀) ise x₀ = (x₁+x₂)/2, y₀ = (y₁+y₂)/2.
📍 Doğrunun Eğimi (m): Bir doğrunun x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açının tanjantıdır. A(x₁,y₁) ve B(x₂,y₂) için m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) (x₁ ≠ x₂). Dikey doğruların eğimi tanımsız, yatay doğruların eğimi 0’dır.
📍 Doğru Denklemleri:
– Eğim-kesim formu: y = mx + n (m: eğim, n: y-eksenini kesim noktası)
– Bir noktası ve eğimi bilinen: y − y₁ = m(x − x₁)
– İki noktası bilinen: önce eğim bulunur, sonra yukarıdaki formül kullanılır
– Genel form: ax + by + c = 0. Bu formda eğim m = −a/b (b≠0).
📍 Paralellik ve Diklik Koşulları:
– Paralel doğrular: m₁ = m₂ (eğimler eşit)
– Dik doğrular: m₁·m₂ = −1 (eğimler çarpımı −1)
– Genel formda paralellik: a₁/a₂ = b₁/b₂ (oranlar eşit), diklik: a₁·a₂ + b₁·b₂ = 0.
📍 Doğruların Kesişimi: İki doğrunun kesişim noktası, denklem sisteminin çözümüdür. Ya yerine koyma, ya yok etme yöntemiyle bulunur.
📍 Noktanın Doğruya Uzaklığı: P(x₀, y₀) noktasının ax+by+c=0 doğrusuna uzaklığı: d = |ax₀+by₀+c| / √(a²+b²).
📍 Çemberin Analitik Denklemi:
– Merkez-yarıçap formu: (x−h)² + (y−k)² = r² (merkez M(h,k), yarıçap r)
– Genel form: x²+y²+Dx+Ey+F=0. Merkez M(−D/2, −E/2), yarıçap r = √[(D/2)²+(E/2)²−F].
– Çember üzerindeki bir nokta, bu denklemi sağlar.
📍 Doğru ile Çemberin Durumları: Bir doğru ile çember; kesişebilir (2 nokta), teğet olabilir (1 nokta) veya kesişmeyebilir (0 nokta). Bu, denklem sisteminin diskriminantı ile belirlenir.
🎯 Öğrenci Koçu Notu
✨ Taktik: Uzaklık formülünde farkların karesini almak negatif işaretleri yok eder. Eğim hesaplarken Δy/Δx oranını kullanın. Paralellikte eğimler eşit, diklikte çarpım −1. Noktanın doğruya uzaklığında mutlak değeri unutmayın. Çember denkleminde tam kareye tamamlama ile merkez-yarıçap bulunur.
💪 Motivasyon: Navigasyon uygulamaları (Google Maps, Yandex), uçak rotaları, oyun geliştirme (2D/3D çizim), bilgisayar grafikleri, robotik, mimari projeler, harita ölçümleri, GPS sistemleri, sanal gerçeklik uygulamaları analitik geometriye dayanır.
📌 Püf Noktası: Dikey doğruların eğimi tanımsızdır (x=sabit). Yatay doğruların eğimi 0’dır (y=sabit). Genel formda doğru denklemi ax+by+c=0 ise eğim m=−a/b’dir. Çember genel formunda merkez M(−D/2, −E/2), yarıçap r=√[(D/2)²+(E/2)²−F].
⚠️ Sık Yapılan Hata: Uzaklık formülünde x₁, x₂’yi karıştırmak (farkın karesi alındığı için sıra önemli değil ama yine de dikkat). Eğim hesaplarken pay ve paydayı ters yazmak. Paralellik-diklik koşullarında genel formda oranları yanlış kurmak. Noktanın doğruya uzaklığında mutlak değeri atlamak. Çember denkleminde yarıçapı negatif çıkarmak (yarıçap pozitiftir).
🧠 Ezberleme İpucu: Uzaklık: √(Δx²+Δy²). Orta nokta: (x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2. Eğim: Δy/Δx. Paralel m₁=m₂, Dik m₁·m₂=−1. Nokta-doğru uzaklığı: |ax+by+c|/√(a²+b²). Çember merkezi: (h,k), r².
📈 Sınav Taktikleri: Önce hangi formülü kullanacağını belirle. Uzaklık sorusunda iki nokta verilmişse direkt formül. Doğru denklemi sorusunda verilenleri (nokta, eğim, iki nokta) belirle. Kesişim sorusunda denklemleri eşitle. Paralellik/diklik sorusunda eğimleri karşılaştır. Çember sorusunda merkez ve yarıçapı bul.
🔍 Derinlemesine Bakış: Analitik geometri, cebir ile geometriyi birleştirir. Bu sayede geometrik problemler cebirsel yöntemlerle çözülebilir. Mühendislik, fizik, bilgisayar bilimleri, mimari, haritacılık gibi birçok alanda temel araçtır. Ayrıca lineer cebir, kalkülüs ve diferansiyel geometrinin temelini oluşturur.
🥉 SEVİYE 1 – Temel
Soru 1: A(2,3) ve B(5,7) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 5 birim.
Soru 2: y = 3x − 5 doğrusunun eğimi kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 3.
Soru 3: A(−1, 4) ve B(2, −2) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 3√5 birim.
Soru 4: 2x + 3y − 6 = 0 doğrusunun eğimi kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: −2/3.
Soru 5: A(3,−1) noktasının x=3 doğrusuna uzaklığı kaç birimdir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 0.
Soru 6: A(1,2) ve B(5,8) noktalarının orta noktasını bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: (3,5).
Soru 7: Eğimi 4 olan ve (0,−2) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: y = 4x − 2.
Soru 8: y = 5 doğrusunun eğimi kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 0.
Soru 9: A(2,5) ve B(2,−3) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 8 birim.
Soru 10: A(−3, 4) noktasının orijine (0,0) uzaklığı kaç birimdir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 5 birim.
⭐ SEVİYE 2 – Orta
Soru 1: Eğimi 2 olan ve A(1, 4) noktasından geçen doğrunun denklemini yazınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: y = 2x + 2.
Soru 2: y = 3x + 4 doğrusuna paralel olan ve A(2,−1) noktasından geçen doğrunun denklemini yazınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: y−(−1) = 3(x−2) → y+1 = 3x−6 → y = 3x−7.
Sonuç: y = 3x − 7.
Soru 3: y = −x + 5 ve y = x − 3 doğruları birbirine dik midir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: m₁·m₂ = −1·1 = −1 → evet diktirler.
Sonuç: Evet, diktir.
Soru 4: A(3,4) noktasının 2x + y − 5 = 0 doğrusuna uzaklığını bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: √5 birim.
Soru 5: Merkezi M(2,−1) ve yarıçapı 4 olan çemberin denklemini yazınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: (x−2)² + (y+1)² = 16.
Soru 6: y = 2x + 1 doğrusunun y eksenini kestiği nokta nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: (0,1).
Soru 7: A(−1,2) ve B(3,6) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: y−2 = 1(x−(−1)) → y−2 = x+1 → y = x+3.
Sonuç: y = x + 3.
Soru 8: 2x−3y+6=0 doğrusu ile x ekseninin kesişim noktasını bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: (−3,0).
Soru 9: x²+y²−4x+6y−12=0 çemberinin merkezini ve yarıçapını bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: Merkez M(2,−3), yarıçap r=5.
Sonuç: M(2,−3), r=5.
Soru 10: y = 2x + 3 ve y = −x + 6 doğrularının kesişim noktasını bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: y = 2·1+3 = 5.
Sonuç: (1,5).
🔥 SEVİYE 3 – İleri
Soru 1: y = 2x + 3 ve y = −x − 3 doğrularının kesişim noktasını bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: y = 2(−2)+3 = −1.
Sonuç: (−2,−1).
Soru 2: A(2,3) noktasının 3x+4y+5=0 doğrusuna uzaklığını bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 23/5 birim.
Soru 3: Merkezi (1,−2) olan ve A(4,2) noktasından geçen çemberin denklemini yazınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: Denklem: (x−1)² + (y+2)² = 25.
Sonuç: (x−1)² + (y+2)² = 25.
Soru 4: y = 2x + 1 doğrusuna paralel ve x eksenini (2,0) noktasında kesen doğrunun denklemini yazınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: y = 2x − 4.
Soru 5: A(1,3) ve B(5,7) noktalarının orta noktası M ise, M noktasının orijine uzaklığını bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: |MO| = √(3²+5²) = √34.
Sonuç: √34 birim.
Soru 6: x²+y²−6x+8y=0 çemberinin merkezi ve yarıçapı nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: Merkez M(3,−4), r=5.
Sonuç: M(3,−4), r=5.
Soru 7: y = 2x − 3 doğrusuna dik ve A(1,4) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: y−4 = −1/2 (x−1) → 2y−8 = −x+1 → x+2y−9=0.
Sonuç: x + 2y − 9 = 0 (veya y = −x/2 + 9/2).
Soru 8: A(0,0), B(3,4), C(6,0) üçgeninin alanını analitik yöntemle bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 12 br².
Soru 9: 3x−4y+12=0 doğrusuna paralel olan ve A(2,−1) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: y+1 = 3/4 (x−2) → 4y+4 = 3x−6 → 3x−4y−10=0.
Sonuç: 3x − 4y − 10 = 0.
Soru 10: x²+y²=25 çemberi ile y=3x+1 doğrusunun kesişim noktalarını bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: Diskriminant Δ=9+240=249, x = (−3 ± √249)/10. y değerleri y=3x+1’dir.
Sonuç: İki kesişim noktası: ((−3±√249)/10, 1 + 3(−3±√249)/10). (Tam sayı çıkmaz, yaklaşık değerler verilebilir.)
📌 GERÇEK HAYAT UYGULAMALARI
Navigasyon uygulamaları (Google Maps, Yandex Haritalar) iki nokta arası mesafe ve rota hesaplamalarında analitik geometri kullanır. Uçakların iniş rotaları, gemi seyirleri, oyun geliştirme (2D/3D çizim ve hareket), bilgisayar grafikleri, robotik kolların konumlandırılması, mimari projelerde ölçeklendirme, GPS sistemleri, haritacılık, sanal gerçeklik, radyo dalgalarının yayılma modelleri, mermi yörüngeleri (fizik) gibi birçok alanda analitik geometri temel rol oynar.
📌 1. Dönem 2. Yazılı
📖 KONU ÖZETİ (Detaylı)
📍 Fonksiyon Nedir? A ve B iki küme olmak üzere, A’nın her elemanını B’nin yalnız bir elemanına eşleyen bağıntıya “fonksiyon” denir. f: A → B. A: tanım kümesi, B: değer kümesi, f(A): görüntü kümesi. Her x∈A için yalnız bir y∈B vardır. Dikey doğru testi ile grafiğin fonksiyon olup olmadığı kontrol edilir.
📍 Fonksiyon Çeşitleri:
– Bire bir (injektif): farklı x’ler farklı y’lere gider. x₁≠x₂ ⇒ f(x₁)≠f(x₂). Yatay doğru testi ile kontrol edilir.
– Örten (sürjektif): Değer kümesindeki her elemanın en az bir ön görüntüsü vardır. f(A)=B.
– İçine: Örten olmayan fonksiyon. f(A) ⊂ B ve f(A) ≠ B.
– Sabit fonksiyon: Her x için f(x)=c (sabit). Grafik yatay doğrudur.
– Birim (özdeşlik) fonksiyonu: I(x)=x. Her elemanı kendisine eşler.
– Doğrusal fonksiyon: f(x)=ax+b, eğim=a, y-kesişim=b.
– İkinci dereceden fonksiyon (parabol): f(x)=ax²+bx+c, a≠0. Grafik paraboldür. a>0 ise kollar yukarı (minimum), a<0 ise kollar aşağı (maksimum).
📍 Parabolün Tepe Noktası ve Eksenleri Kestiği Noktalar:
– Tepe noktası T(r,k) = (−b/2a, f(−b/2a)) = (−b/2a, (4ac−b²)/4a).
– y eksenini kesim noktası: x=0 ⇒ f(0)=c → (0,c).
– x eksenini kesim noktaları (kökler): ax²+bx+c=0 denkleminin kökleri. Δ > 0 ise iki kök, Δ=0 ise çakışık, Δ<0 ise reel kök yok.
📍 Grafik Dönüşümleri:
– Dikey öteleme: f(x) + k (k>0 yukarı, k<0 aşağı)
– Yatay öteleme: f(x−k) (k>0 sağa, k<0 sola) — dikkat: x'ten k çıkarılır, k pozitif sağa kayar.
– x eksenine göre simetri: −f(x)
– y eksenine göre simetri: f(−x)
– Dikey germe/sıkıştırma: a·f(x), |a|>1 germe, 0<|a|<1 sıkıştırma.
– Mutlak değer: |f(x)| veya f(|x|).
📍 Bileşke Fonksiyon: (f∘g)(x) = f(g(x)). Önce içteki g uygulanır, sonra dıştaki f. Değişme özelliği yoktur (f∘g ≠ g∘f genelde). Birleşme özelliği vardır: f∘(g∘h) = (f∘g)∘h.
📍 Ters Fonksiyon: f: A→B birebir ve örten ise f⁻¹: B→A tanımlıdır. f⁻¹(f(x))=x ve f(f⁻¹(y))=y. Ters fonksiyon bulunurken y=f(x) yazılır, x ile y yer değiştirilir, y yalnız bırakılır. Grafik y=x doğrusuna göre simetriktir.
📍 Mutlak Değer ve Parçalı Fonksiyonlar: Mutlak değer fonksiyonu |x| = x (x≥0), −x (x<0). Parçalı fonksiyonlar farklı aralıklarda farklı kurallarla tanımlanır. Grafik çizimi ve değer bulmada aralıklara dikkat edilir.
📍 Artan – Azalan – Sabit Fonksiyonlar: x₁ < x₂ için f(x₁) < f(x₂) ise artan; f(x₁) > f(x₂) ise azalan; f(x₁) = f(x₂) ise sabit. Türev bilgisi olmadan grafik veya cebirsel yöntemlerle belirlenir.
📍 Periyodik Fonksiyonlar: f(x+T) = f(x) olacak şekilde T>0 varsa fonksiyon periyodiktir, T’ye periyot denir. Trigonometrik fonksiyonlar en yaygın periyodik fonksiyonlardır.
📍 Uygulama Alanları: Fonksiyonlar, fizikte hareket, ekonomide maliyet/kazanç, mühendislikte optimizasyon, biyolojide nüfus modelleri, bilgisayar bilimlerinde algoritma analizi gibi birçok alanda kullanılır.
🎯 Öğrenci Koçu Notu
✨ Taktik: Bir parabolün tepe noktasını bulmak için r=−b/2a formülünü ezberleyin. Grafik dönüşümlerinde yatay ötelemede ters işaret olduğunu unutmayın. Bileşke fonksiyonda içten dışa doğru hesaplayın. Ters fonksiyon bulurken x ile y yer değiştirir ve y’yi çözersiniz. Parçalı fonksiyonlarda hangi aralıkta hangi kuralın geçerli olduğuna dikkat edin.
💪 Motivasyon: Bir topun havada izlediği yol (atış hareketi), bir iş yerinin kar-zarar durumu, bir mühendislik projesindeki köprü tasarımı, bir ilacın vücuttaki etkisi, bir nüfusun büyüme modeli, bir aracın hız-zaman grafiği hep fonksiyonlarla modellenir. Fonksiyonlar matematiğin evrensel dilidir.
📌 Püf Noktası: Dönüşümleri ezberlemek yerine, bir nokta alıp grafikte nereye gittiğini takip edin. f(x+2) fonksiyonu sola kaydırır (x ekseninde ters işaret). Parabolün tepe noktası, maksimum veya minimum değeri verir. Birebir fonksiyonun tersi vardır (örten olması da gerekir).
⚠️ Sık Yapılan Hata: f(x+2)’nin fonksiyonu sağa kaydırdığını düşünmek (aslında sola). Parabolde a’nın işaretine göre maksimum/minimum karıştırmak. Bileşke fonksiyonda hangi fonksiyonun içte olduğunu karıştırmak. Ters fonksiyon bulurken işlem hatası yapmak. Parçalı fonksiyonlarda aralık uç noktalarını yanlış değerlendirmek.
🧠 Ezberleme İpucu: Tepe noktası: r=−b/2a, k=f(r). Dönüşümler: f(x)+k (yukarı), f(x−k) (sağa), −f(x) (x eksenine göre), f(−x) (y eksenine göre). Bileşke: (f∘g)(x)=f(g(x)). Ters: f⁻¹(x) bulurken x ve y yer değiştirir.
📈 Sınav Taktikleri: Önce fonksiyonun türünü belirleyin (doğrusal, parabol, mutlak değer, parçalı). Gerekli formülleri yazın. Verilenleri yerine koyun. Grafik sorusunda dönüşümleri adım adım uygulayın. Bileşke ve ters sorularında adımları sırayla takip edin.
🔍 Derinlemesine Bakış: Fonksiyonlar, matematiğin temel yapı taşlarından biridir. Tüm analiz (türev, integral), diferansiyel denklemler, olasılık, istatistik hep fonksiyonlar üzerine kuruludur. Bilgisayar biliminde fonksiyonel programlama, veri analizinde regresyon modelleri de fonksiyon kavramıyla açıklanır.
🥉 SEVİYE 1 – Temel
Soru 1: f(x) = 2x + 3 ise f(4) kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 11.
Soru 2: f(x) = x² − 4x + 3 fonksiyonunun tepe noktasını (r,k) bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: k = f(2) = 4 − 8 + 3 = −1.
Sonuç: T(2,−1).
Soru 3: f(x) = 3x − 2 ise f(0) kaçtır? (y eksenini kesim noktası.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: −2, yani (0,−2).
Soru 4: f(x) = 5 sabit fonksiyonunun f(10) değeri kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 5.
Soru 5: f(x) = x² + 2x − 3 fonksiyonunun y eksenini kestiği nokta nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: (0,−3).
Soru 6: f(x) = 2x + 1 ve g(x) = x − 3 ise (f+g)(x) fonksiyonunu bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 3x−2.
Soru 7: f(x) = 3x − 2 fonksiyonunun eğimi kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 3.
Soru 8: f(x) = |x| fonksiyonunun x=3 ve x=−3 için değerlerini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: Her ikisi de 3.
Soru 9: Birim fonksiyon I(x)=x’tir. I(7) kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 7.
Soru 10: f(x)=x²+1 ve g(x)=2x ise (f−g)(x) fonksiyonunu bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: (x−1)².
⭐ SEVİYE 2 – Orta
Soru 1: f(x) = 2x² + 8x − 5 fonksiyonunun en küçük değerini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: k = f(−2) = 2·4 + 8·(−2) − 5 = 8 −16 −5 = −13.
Sonuç: −13.
Soru 2: f(x) = −x² + 4x + 1 fonksiyonunun en büyük değerini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: k = f(2) = −4 + 8 + 1 = 5.
Sonuç: 5.
Soru 3: f(x) = x² − 6x + 8 fonksiyonunun x eksenini kestiği noktaları bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: (2,0) ve (4,0).
Soru 4: f(x) = 2x + 3 ve g(x) = x − 1 ise (f∘g)(2) ve (g∘f)(2) değerlerini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: (g∘f)(2) = g(f(2)) = g(7) = 7−1 = 6.
Sonuç: (f∘g)(2)=5, (g∘f)(2)=6.
Soru 5: f(x) = 3x − 2 fonksiyonunun tersini bulunuz. f⁻¹(4) değerini hesaplayınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: f⁻¹(4) = (4+2)/3 = 2.
Sonuç: f⁻¹(x)=(x+2)/3, f⁻¹(4)=2.
Soru 6: f(x) = x² + 2x + 1 fonksiyonunun grafiğini 2 birim yukarı öteleyip yeni fonksiyonu yazınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: g(x)=x²+2x+3.
Soru 7: f(x) = x² + 3x + 2 fonksiyonunun x eksenini kestiği noktaları bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: (−1,0) ve (−2,0).
Soru 8: f(x) = 2x − 3 fonksiyonunun grafiğini 3 birim sağa öteleyip yeni fonksiyonu yazınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: g(x)=2x−9.
Soru 9: f(x) = |2x−4| fonksiyonunun parçalı gösterimini yazınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: f(x) = { −2x+4, x<2; 2x−4, x≥2 }.
Soru 10: f(x)=x²+1 ve g(x)=2x−3 ise (f∘g)(x) fonksiyonunu bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 4x²−12x+10.
🔥 SEVİYE 3 – İleri
Soru 1: f(x) = 2x − 3 ve g(x) = x² + 1 ise (g ∘ f)(x) fonksiyonunu bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 4x²−12x+10.
Soru 2: f(x) = (2x−1)/(x+3) ise f⁻¹(x) fonksiyonunu bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: x(y+3)=2y−1 → xy+3x=2y−1 → xy−2y = −3x−1 → y(x−2)=−(3x+1) → y = −(3x+1)/(x−2) = (3x+1)/(2−x).
Sonuç: f⁻¹(x) = (3x+1)/(2−x), x≠2.
Soru 3: f(x) = |x−2| + |x+1| fonksiyonunun parçalı gösterimini yazınız ve f(3)’ü hesaplayınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: x<−1: |x−2|=−(x−2)=−x+2, |x+1|=−(x+1)=−x−1 → f(x)=−2x+1.
Adım 3: −1≤x<2: |x−2|=−x+2, |x+1|=x+1 → f(x)=3.
Adım 4: x≥2: |x−2|=x−2, |x+1|=x+1 → f(x)=2x−1.
Adım 5: f(3): x≥2 aralığında → 2·3−1=5.
Sonuç: Parçalı yukarıdaki gibi, f(3)=5.
Soru 4: f(x) = x² − 4x + 5 fonksiyonunun minimum değerini ve tepe noktasını bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: k = f(2) = 4−8+5 = 1.
Sonuç: Tepe (2,1), minimum değer 1.
Soru 5: f(x) = x²+2x−3 fonksiyonunun grafiğini çizerek tepe noktasını ve eksenleri kestiği noktaları belirtiniz (açıklamalı).
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: y eksenini kesim: (0,−3).
Adım 3: x eksenini kesim: x²+2x−3=0 → (x+3)(x−1)=0 → (−3,0) ve (1,0).
Adım 4: a=1>0 olduğu için kollar yukarı, tepe (−1,−4).
Sonuç: Tepe (−1,−4), eksenler (0,−3), (−3,0), (1,0).
Soru 6: f(x) = 2x−3 fonksiyonunu önce x eksenine göre simetrisini alıp, sonra 1 birim sağa öteleyiniz. Yeni fonksiyonu yazınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: 1 birim sağa öteleme: −2(x−1)+3 = −2x+2+3 = −2x+5.
Sonuç: g(x) = −2x+5.
Soru 7: f(x)=x²−3x+2 ve g(x)=x−1 ise (f/g)(x) fonksiyonunu sadeleştiriniz (g≠0).
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: x²−3x+2 = (x−1)(x−2). Sadeleşir: x−2 (x≠1).
Sonuç: x−2, x≠1.
Soru 8: f(x)=x²+4x+4 fonksiyonunun grafiğini x eksenine göre yansıtıp, yeni fonksiyonu yazınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: g(x)=−(x+2)².
Soru 9: f(x) = 3x−2 ve g(x)=x²+1 ise (g∘f)⁻¹(x) fonksiyonunu bulunuz. (Önce bileşkeyi bulun, sonra tersini.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: Bu ikinci dereceden fonksiyon birebir değil (parabol), bu nedenle tersi fonksiyon olarak yoktur (tanım kümesi kısıtlanmadıkça). Genel olarak 11. sınıf seviyesinde tersi alınamaz. (Not: Özel olarak tanım kümesi kısıtlanırsa yapılabilir.)
Sonuç: Tersi fonksiyon değildir (birebir değil).
Soru 10: f(x)=x²+2x+1 fonksiyonunun periyodik olup olmadığını açıklayınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: x²+2x+1=(x+1)², bu fonksiyon artan/azalan, periyodik değildir. T>0 için (x+T+1)²=(x+1)² eşitliği her x için sağlanmaz.
Sonuç: Periyodik değildir.
📌 GERÇEK HAYAT UYGULAMALARI
Fizikte atış hareketi (parabol yörünge), bir işletmenin kar-zarar fonksiyonları (parabol), mühendislikte köprü tasarımı (parabolik kemerler), biyolojide nüfus büyüme modelleri (üstel fonksiyon), ilaç etkisinin vücuttaki azalması (logaritmik veya üstel), ekonomide talep-arz eğrileri, bilgisayar grafiklerinde eğri çizimi, makine öğrenmesinde regresyon modelleri, günlük hayatta telefon şarj süresi (azalma), maaş hesaplamaları (sabit+değişken), döviz kuru dönüşümleri gibi birçok alanda fonksiyonlar kullanılır.
📌 2. Dönem 1. Yazılı
📖 KONU ÖZETİ (Detaylı)
📍 Doğrusal Denklem Sistemleri (İki Bilinmeyenli): a₁x+b₁y=c₁ ve a₂x+b₂y=c₂ şeklindeki sistemlerdir. Çözüm, her iki denklemi birden sağlayan (x,y) ikilileridir. Grafikte her denklem bir doğruyu temsil eder; doğruların kesişimi çözümdür. Çözüm durumları:
– Tek çözüm: Doğrular bir noktada kesişir (a₁/a₂ ≠ b₁/b₂).
– Sonsuz çözüm: Doğrular çakışıktır (a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂).
– Çözüm yok: Doğrular paraleldir (a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂).
📍 Çözüm Yöntemleri:
– Yerine koyma: Bir denklemden bir bilinmeyen çekilir, diğer denklemde yerine yazılır.
– Yok etme: Denklemler taraf tarafa toplanarak veya çıkarılarak bir bilinmeyen yok edilir. Önce katsayılar eşitlenir.
– Grafik yöntemi: Doğrular çizilir, kesişim noktası okunur (yaklaşık).
📍 Eşitsizlik Sistemleri (Bir Bilinmeyenli): ax+b > 0, ax+b < 0, ax+b ≥ 0, ax+b ≤ 0 şeklindeki eşitsizlikler. Çözüm sayı doğrusunda aralık olarak gösterilir. Negatif sayıyla çarpma/bölmede yön değiştirir.
📍 Eşitsizlik Sistemleri (İki Bilinmeyenli): ax+by+c > 0, ax+by+c < 0 vb. Çözüm, koordinat düzleminde bir bölgedir. Doğru çizilir, test noktası ile hangi tarafın çözüm olduğu belirlenir. Sınırlar dahil mi (≤, ≥) yoksa değil mi (<, >) dikkat edilir. Taralı bölge çözüm kümesidir.
📍 Mutlak Değerli Denklem ve Eşitsizlikler:
– |x| = a → x = a veya x = −a (a≥0).
– |x| < a → −a < x < a.
– |x| > a → x < −a veya x > a.
– |ax+b| = c → ax+b = c veya ax+b = −c.
– |ax+b| < c → −c < ax+b < c.
– |ax+b| > c → ax+b < −c veya ax+b > c.
📍 İkinci Dereceden Eşitsizlikler: ax²+bx+c > 0, < 0, ≥ 0, ≤ 0 şeklinde. Çözüm için önce denklemin kökleri bulunur, işaret tablosu yapılır. a>0 ise kökler arası (−), dışarısı (+); a<0 ise tersi. Kökler çakışık veya reel değilse durum özel incelenir.
📍 Denklem ve Eşitsizlik Kurma Problemleri: Sayı problemleri, yaş problemleri, karışım, işçi, hareket, yüzde, faiz problemleri vb. Önce bilinmeyen tanımlanır, verilen ilişkiler denklem veya eşitsizlik olarak yazılır, çözülür ve yorumlanır.
📍 Grafik Yorumu: Denklem sistemlerinde doğruların kesişimi, eşitsizlik sistemlerinde taralı bölgenin sınırları ve yönü önemlidir. Paralel doğrular çözümsüzlüğü, çakışık doğrular sonsuz çözümü belirtir.
🎯 Öğrenci Koçu Notu
✨ Taktik: Denklem sistemlerinde yok etme yöntemi genelde daha hızlıdır. Eşitsizlik çözerken, işaret değiştirme kuralını unutmayın. Mutlak değerli eşitsizliklerde iki durumu ayrı ayrı inceleyin. İkinci dereceden eşitsizliklerde işaret tablosu çizmeyi alışkanlık haline getirin. Problemlerde bilinmeyeni doğru tanımlayın.
💪 Motivasyon: Bütçe planlaması (harcamalar ≤ gelir), kapasite hesaplamaları (yolcu sayısı ≤ kapasite), mağaza indirimleri (fiyat ≤ bütçe), üretim planlaması (ham madde ≤ stok), sağlık (kalori alımı ≤ ihtiyaç), fizik (ivme, hız denklemleri), ekonomi (arz-talep dengesi) gibi birçok alanda denklem ve eşitsizlik sistemleri kullanılır.
📌 Püf Noktası: İki bilinmeyenli denklem sisteminin çözümü, koordinat düzleminde iki doğrunun kesiştiği noktadır. Eşitsizlik sistemlerinde taralı bölgenin sınırlarına dikkat edin. Negatif sayıyla çarparken yön değiştirmeyi unutmayın. Mutlak değerli denklemlerde her iki çözümü de kontrol edin (bazen dışarıda kalabilir).
⚠️ Sık Yapılan Hata: Denklem sistemlerinde yok etme yaparken katsayıları eşitlemeyi unutmak. Eşitsizliklerde negatif sayıyla çarparken yön değiştirmemek. Mutlak değerli denklemlerde çözümleri kontrol etmemek. İkinci dereceden eşitsizliklerde işaret tablosunu yanlış yapmak. Problemlerde bilinmeyeni yanlış tanımlamak.
🧠 Ezberleme İpucu: Yok etme: katsayıları eşitle, topla/çıkar. Yerine koyma: bir bilinmeyeni çek, yerine yaz. Eşitsizliklerde yön değiştirme: negatif çarp/böl. Mutlak değer: |x|=a → x=±a, |x|a → x<−a veya x>a.
📈 Sınav Taktikleri: Önce sistemi yazın. Hangi yöntemin daha hızlı olduğuna karar verin. Eşitsizliklerde çözüm aralığını sayı doğrusunda veya koordinat düzleminde gösterin. Problemlerde verilenleri denkleme dökmeden önce okuduğunuzu anlayın.
🔍 Derinlemesine Bakış: Denklem ve eşitsizlik sistemleri, doğrusal cebirin temelidir. Optimizasyon problemleri (doğrusal programlama), ekonomi (kaynak tahsisi), mühendislik (yapısal analiz), bilgisayar bilimleri (algoritmalar) gibi alanlarda yaygın kullanılır. Ayrıca ikinci dereceden eşitsizlikler, türev ve integral ile de bağlantılıdır.
🥉 SEVİYE 1 – Temel
Soru 1: x − y = 4 ve x + y = 10 denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: x=7’yi ikinci denklemde yazalım: 7+y=10 → y=3.
Sonuç: (7,3).
Soru 2: 2x + 3 > 11 eşitsizliğinin çözümünü bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: (4, ∞).
Soru 3: |x| = 5 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: {−5,5}.
Soru 4: 3x − 2y = 8, x + y = 6 sistemini yerine koyma yöntemiyle çözünüz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: 3(6−y)−2y=8 → 18−3y−2y=8 → −5y=−10 → y=2.
Adım 3: x=6−2=4.
Sonuç: (4,2).
Soru 5: |x−2| < 3 eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: Her tarafa 2 ekleyelim: −1 < x < 5.
Sonuç: (−1,5).
Soru 6: 2x + y = 9 ve x − y = 3 sistemini yok etme yöntemiyle çözünüz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: x=4’ü ikinci denklemde yazalım: 4−y=3 → y=1.
Sonuç: (4,1).
Soru 7: −3x ≤ 9 eşitsizliğini çözünüz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: [−3, ∞).
Soru 8: x² − 4x + 3 = 0 denkleminin köklerini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 1 ve 3.
Soru 9: 2x + 5 < 3x − 1 eşitsizliğini çözünüz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: (6, ∞).
Soru 10: |2x−1| = 7 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: 2x=8 → x=4; 2x=−6 → x=−3.
Sonuç: {−3,4}.
⭐ SEVİYE 2 – Orta
Soru 1: 2x + y = 7, x − 2y = −4 denklem sistemini yok etme yöntemiyle çözünüz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: Birinciden çıkaralım: (2x+y)−(2x−4y)=7−(−8) → 5y=15 → y=3.
Adım 3: 2x+3=7 → 2x=4 → x=2.
Sonuç: (2,3).
Soru 2: x + y > 3 ve x − y < 1 eşitsizlik sistemini çözünüz (taralı bölgeyi belirleyiniz).
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: x−y<1 doğrusu x−y=1, test (0,0): 0<1 doğru, y=x−1'in alt tarafı.
Adım 3: Kesişim bölgesi: x+y>3 ve x−y<1'in ortak taralı bölgesi.
Sonuç: Taralı bölge sınırsızdır, iki doğrunun kesişim noktası (2,1).
Soru 3: x² − 5x + 6 < 0 eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: a=1>0, işaret tablosu: (−∞,2) (+), (2,3) (−), (3,∞) (+).
Adım 3: <0 olduğu için (2,3).
Sonuç: (2,3).
Soru 4: 3x + 2y = 12 ve 6x + 4y = 24 sisteminin çözüm durumunu belirleyiniz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: Çakışık doğrular → sonsuz çözüm.
Sonuç: Sonsuz çözüm (doğrular çakışık).
Soru 5: |x+2| ≥ 5 eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: x ≤ −7 veya x ≥ 3.
Sonuç: (−∞,−7] ∪ [3,∞).
Soru 6: 4x + 3y = 18, 2x + y = 8 sistemini çözünüz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: y=8−6=2.
Sonuç: (3,2).
Soru 7: x² − 4x + 4 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: >0 olduğu için x≠2.
Sonuç: R \ {2}.
Soru 8: 2x + 3y ≤ 6 ve x ≥ 0, y ≥ 0 eşitsizlik sistemini çözünüz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: Kesişim, eksenlerle sınırlı üçgen bölge: x=0, y=2; y=0, x=3.
Sonuç: Köşeleri (0,0), (3,0), (0,2) olan üçgen bölgesi.
Soru 9: |3x−6| = 9 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: 3x=15 → x=5; 3x=−3 → x=−1.
Sonuç: {−1,5}.
Soru 10: Bir sayının 2 katının 5 eksiği, sayının 3 katından 4 fazladır. Bu sayı kaçtır? (Denklem kurarak.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: 2x−3x = 4+5 → −x=9 → x=−9.
Sonuç: −9.
🔥 SEVİYE 3 – İleri
Soru 1: −3x + 2 ≤ 5x + 18 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: −8’e bölelim (yön değişir): x ≥ −2.
Sonuç: [−2, ∞).
Soru 2: x² − 6x + 8 ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: a=1>0, işaret: (−∞,2) (+), (2,4) (−), (4,∞) (+).
Adım 3: ≥0 olduğu için (−∞,2] ∪ [4,∞).
Sonuç: (−∞,2] ∪ [4,∞).
Soru 3: 2x + 3y = 7, 4x − y = 1 sistemini çözünüz. (Yok etme.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: Birinciyle toplayalım: (2x+3y)+(12x−3y)=7+3 → 14x=10 → x=5/7.
Adım 3: y=4x−1 = 20/7−1 = 13/7.
Sonuç: (5/7, 13/7).
Soru 4: |x−3| + |x+2| = 7 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. (Kritik nokta yöntemi.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: x<−2: |x−3|=−(x−3)=−x+3, |x+2|=−x−2 → (−x+3)+(−x−2)=7 → −2x+1=7 → x=−3 (kabul).
Adım 3: −2≤x<3: |x−3|=−x+3, |x+2|=x+2 → (−x+3)+(x+2)=7 → 5=7 (çözüm yok).
Adım 4: x≥3: |x−3|=x−3, |x+2|=x+2 → (x−3)+(x+2)=7 → 2x−1=7 → x=4 (kabul).
Sonuç: {−3,4}.
Soru 5: 3x − 2y = 1, 6x − 4y = 3 sistemini çözüm durumunu belirleyiniz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ olduğu için paralel, çözüm yok.
Sonuç: Çözüm yok.
Soru 6: 2x + y ≥ 3, x − y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0 sisteminin çözüm bölgesini belirleyiniz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: x−y≤2 doğrusu x−y=2, test (0,0): 0≤2 doğru, alt taraf (y≥x−2).
Adım 3: Kesişim: 2x+y≥3, y≥0, x≥0, y≥x−2. Sınırlı bölge.
Sonuç: Köşeler: (0,3), (1,1) (2x+y=3 ve x−y=2’den), (2,0). Taralı bölge bu üçgen.
Soru 7: x² + 4x + 5 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: Tüm reel sayılar (R).
Soru 8: 2x + 5y = 13, 3x − 2y = 1 sistemini çözünüz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: 2x+5(37/19)=13 → 2x + 185/19 = 247/19 → 2x = 62/19 → x=31/19.
Sonuç: (31/19, 37/19).
Soru 9: |2x−5| > 3 eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: 2x < 2 → x < 1; 2x > 8 → x > 4.
Sonuç: (−∞,1) ∪ (4,∞).
Soru 10: Bir karenin kenarı x cm, alanı (x²−6x+9) cm²’dir. Bu karenin kenar uzunluğunu bulunuz. (x>0)
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: x² = (x−3)² → x² = x²−6x+9 → 6x=9 → x=3/2 cm.
Sonuç: 3/2 cm.
📌 GERÇEK HAYAT UYGULAMALARI
Kısıt problemleri (bütçe planlaması, üretim kaynakları), optimum çözümler (maksimum kar, minimum maliyet), karışım problemleri (kimya, gıda), işçi ve havuz problemleri, hareket problemleri (hız-zaman), yaş problemleri, sayı problemleri, alan ve çevre optimizasyonu, mühendislik tasarımlarında kısıtlar, ekonomi (arz-talep dengesi), lojistik (rota optimizasyonu), sağlık (diyet planlaması) gibi birçok alanda denklem ve eşitsizlik sistemleri kullanılır.
📌 2. Dönem 1. Yazılı
📖 KONU ÖZETİ (Detaylı)
📍 Çember Nedir? Düzlemde sabit bir noktaya (merkez) eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesine çember denir. Daire ise çemberin iç bölgesidir (çember + içi).
📍 Temel Elemanlar:
– Merkez (O): Çemberin tam ortasındaki nokta.
– Yarıçap (r): Merkezden çember üzerindeki herhangi bir noktaya olan uzaklık.
– Çap (R): Merkezden geçen ve çember üzerinde iki noktayı birleştiren doğru parçası. R = 2r.
– Kiriş: Çember üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçası (çap en uzun kiriştir).
– Kesen: Çemberi iki noktada kesen doğru.
– Teğet: Çemberi tek bir noktada kesen doğru. Teğet noktasına çizilen yarıçap, teğete diktir.
📍 Çemberde Açılar:
– Merkez açı: Köşesi merkezde olan açıdır. Ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
– Çevre açı (çember açısı): Köşesi çember üzerinde olan ve kolları çemberi kesen açıdır. Ölçüsü gördüğü yayın yarısına eşittir.
– Teğet-kiriş açı: Teğet ile kiriş arasındaki açıdır. Ölçüsü gördüğü yayın yarısına eşittir.
– İç açı: Çemberin içinde kesişen iki kirişin oluşturduğu açı. Ölçüsü, gördüğü yayların toplamının yarısıdır.
– Dış açı: Çemberin dışında kesişen iki kesenin oluşturduğu açı. Ölçüsü, gördüğü yayların farkının yarısıdır.
📍 Yay Uzunluğu ve Daire Dilimi Alanı:
– Yay uzunluğu: l = (α/360°)·2πr (α derece cinsinden) veya l = α·r (α radyan cinsinden).
– Daire dilimi (sektör) alanı: A = (α/360°)·πr² veya A = (1/2)·α·r² (radyan).
📍 Çemberde Kuvvet Teoremleri:
– İki kiriş teoremi: Çember içinde kesişen iki kirişte, bir kirişin parçalarının çarpımı diğer kirişin parçalarının çarpımına eşittir: |PA|·|PB| = |PC|·|PD|.
– İki kesen teoremi: Çember dışındaki bir noktadan çizilen iki kesenin, kesenlerin dış parçalarının çarpımı eşittir: |PA|·|PB| = |PC|·|PD| (A ve B aynı kesen üzerinde, C ve D diğer kesen üzerinde).
– Teğet-kesen teoremi: Çember dışındaki bir noktadan çizilen teğet ve kesen için, teğet uzunluğunun karesi, kesenin dış parçası ile tamamının çarpımına eşittir: |PT|² = |PA|·|PB|.
📍 Çemberin Analitik Denklemi:
– Merkez-yarıçap formu: (x−h)² + (y−k)² = r² (merkez M(h,k), yarıçap r).
– Genel form: x²+y²+Dx+Ey+F=0. Merkez M(−D/2, −E/2), yarıçap r = √[(D/2)²+(E/2)²−F].
– Teğet denklemi: Bir P(x₁,y₁) noktasından çembere çizilen teğetin denklemi, merkeze göre türetilir.
📍 Teğet Özellikleri:
– Teğet noktasına çizilen yarıçap, teğete diktir.
– Bir noktadan çembere çizilen iki teğetin uzunlukları eşittir.
– İki çemberin dış teğet ve iç teğetleri ile ilgili özel bağıntılar vardır.
🎯 Öğrenci Koçu Notu
✨ Taktik: Teğet noktasına çizilen yarıçap, teğete her zaman diktir. “Çapı gören çevre açı 90°’dir” kuralı çok işe yarar. Merkez açı ile çevre açı arasındaki ilişkiyi (merkez açı = 2·çevre açı) unutmayın. Yay uzunluğu ve dilim alanı formüllerinde açı birimine dikkat edin. Kuvvet teoremlerinde doğru eşleştirmeyi yapın.
💪 Motivasyon: Araba tekerlekleri, pizza, saat kadranı, yüzük, madalya, boru kesitleri, madeni paralar, CD/DVD’ler, tencere kapakları gibi günlük hayatta çember ve daire örnekleri çoktur. Mühendislik, mimari, makine tasarımı, fizik (dairesel hareket), astronomi (gezegen yörüngeleri) gibi alanlarda çember geometrisi temeldir.
📌 Püf Noktası: Çapı gören çevre açı 90°’dir. Aynı yayı gören çevre açılar eşittir. Merkez açı, aynı yayı gören çevre açının 2 katıdır. Teğet-kiriş açı, gördüğü yayın yarısıdır. Kuvvet teoremlerinde çarpımları eşitlemeyi unutmayın.
⚠️ Sık Yapılan Hata: Alan formülü ile çevre formülünü karıştırmak (Alan πr², Çevre 2πr). Merkez açı ile çevre açıyı karıştırmak. Yay uzunluğunda açıyı radyan veya derece olarak yanlış kullanmak. Kuvvet teoremlerinde hangi parçaların eşleştiğini yanlış belirlemek. Teğet noktasında dikliği unutmak.
🧠 Ezberleme İpucu: Çevre = 2πr, Alan = πr². Merkez açı = yay, çevre açı = yay/2. Yay uzunluğu = (α/360)·2πr. Dilim alanı = (α/360)·πr². Kuvvet: Kirişlerde PA·PB=PC·PD, kesenlerde aynı, teğet-kesende PT²=PA·PB.
📈 Sınav Taktikleri: Önce şekil üzerinde verilenleri ve isteneni belirleyin. Hangi açı kuralını veya teoremi kullanacağınıza karar verin. Gerekiyorsa yardımcı doğru (yarıçap, teğet, çap) çizin. Kuvvet teoremlerinde doğru eşleşmeyi yapın. Analitik çember sorularında merkez ve yarıçapı bulun.
🔍 Derinlemesine Bakış: Çember, Öklid geometrisinin en önemli şekillerinden biridir. Trigonometri, analitik geometri, integral (yay uzunluğu, alan), fizik (dairesel hareket, dalga hareketi) gibi birçok alanın temelini oluşturur. Ayrıca çemberin analitik denklemi, koniklerin (elips, parabol, hiperbol) temelini oluşturur.
🥉 SEVİYE 1 – Temel
Soru 1: Yarıçapı 5 cm olan bir çemberin çevresi kaç cm’dir? (π=3 alınız.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 30 cm.
Soru 2: Yarıçapı 4 cm olan bir dairenin alanı kaç cm²’dir? (π=3 alınız.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 48 cm².
Soru 3: Bir çemberin çapı 12 cm ise yarıçapı kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 6 cm.
Soru 4: Bir çemberde merkez açı 60° ise gördüğü yay kaç derecedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 60°.
Soru 5: Bir çemberde çevre açı 40° ise gördüğü yay kaç derecedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 80°.
Soru 6: Yarıçapı 6 cm olan çemberde 60°’lik merkez açının gördüğü yay uzunluğu kaç cm’dir? (π=3 alınız.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 6 cm.
Soru 7: Yarıçapı 4 cm olan çemberde 90°’lik dilimin alanı kaç cm²’dir? (π=3 alınız.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 12 cm².
Soru 8: Bir çemberde çapı gören çevre açı kaç derecedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 90°.
Soru 9: Bir çemberin yarıçapı 5 cm ise en uzun kirişi (çapı) kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 10 cm.
Soru 10: Merkezi (2,−3) ve yarıçapı 4 olan çemberin denklemini yazınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: (x−2)² + (y+3)² = 16.
⭐ SEVİYE 2 – Orta
Soru 1: Bir çemberde merkez açı 80° ise aynı yayı gören çevre açı kaç derecedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 40°.
Soru 2: Bir çemberde iki kiriş çember içinde kesişiyor. Oluşan parçalardan biri 3 ve 5, diğeri 4 ve x ise x kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 3,75.
Soru 3: Bir çember dışındaki bir noktadan çizilen teğet uzunluğu 6 cm, kesenin dış parçası 4 cm ise kesenin tamamı kaç cm’dir? (Teğet-kesen teoremi.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 9 cm.
Soru 4: Bir çemberde teğet-kiriş açı 50° ise gördüğü yay kaç derecedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 100°.
Soru 5: Çapı 10 cm olan bir çemberin çevresi kaç cm’dir? (π=3,14 alınız.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 31,4 cm.
Soru 6: x²+y²−4x+6y−3=0 çemberinin merkezini ve yarıçapını bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: Merkez M(2,−3), r=4.
Sonuç: M(2,−3), r=4.
Soru 7: Bir çemberde iki kesen çember dışında kesişiyor. Kesen parçaları 2, 8 ve 4, x ise x kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 4.
Soru 8: Yarıçapı 6 cm olan çemberde 120°’lik merkez açının gördüğü yay uzunluğu kaç cm’dir? (π=3 alınız.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 12 cm.
Soru 9: Bir çemberde teğet noktasına çizilen yarıçap ile teğet arasındaki açı kaç derecedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 90°.
Soru 10: x²+y²=25 çemberine (3,4) noktasında teğet olan doğrunun denklemini yazınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: y−4 = −3/4 (x−3) → 4y−16 = −3x+9 → 3x+4y−25=0.
Sonuç: 3x+4y−25=0.
🔥 SEVİYE 3 – İleri
Soru 1: Bir çemberde iki kiriş çember içinde dik kesişiyor. Parçalar 4, 6, 3 ve x ise x kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 8.
Soru 2: Çember dışındaki bir P noktasından çizilen teğet uzunluğu 8 cm, kesenin dış parçası 4 cm ise kesenin iç parçası kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 12 cm.
Soru 3: Merkez açı 30° olan bir daire diliminin alanı 12π cm² ise çemberin yarıçapı kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 12 cm.
Soru 4: Bir çemberde iki kesen dışta kesişiyor. Kesenlerin dış parçaları 3 ve 4, iç parçaları 5 ve 6 ise bu parçalar hangi kesene ait? (Kuvvet teoremi ile kontrol.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: Verilen parçalar aynı kesene ait değil, kuvvet teoremi sağlanmıyor.
Soru 5: x²+y²−6x+8y=0 çemberinin yarıçapını ve merkezini bulunuz. Çemberin orijinden geçtiğini gösteriniz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: Orijin (0,0) için 0+0=0 eşitlik sağlanır → orijinden geçer.
Sonuç: M(3,−4), r=5, orijinden geçer.
Soru 6: Bir çemberde teğet-kiriş açı 70° ise bu açının gördüğü yayın karşısındaki yay kaç derecedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 220°.
Soru 7: İki çember dıştan teğet. Yarıçapları 4 cm ve 6 cm ise merkezleri arası uzaklık kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 10 cm.
Soru 8: Bir çemberde iki kiriş kesişiyor. Bir kirişin parçaları 2 ve 9, diğer kirişin parçaları 3 ve x ise x kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 6.
Soru 9: Yarıçapı 5 cm olan çemberde 30°’lik merkez açının gördüğü yay uzunluğu kaç cm’dir? (π=3,14 alınız.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: ≈2,62 cm.
Soru 10: x²+y²=16 çemberine (2,2√3) noktasında teğet olan doğrunun denklemini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: y−2√3 = −1/√3 (x−2) → √3y−6 = −x+2 → x+√3y−8=0.
Sonuç: x + √3y − 8 = 0.
📌 GERÇEK HAYAT UYGULAMALARI
Mühendislik (tekerlek, dişli, boru, kablo makaraları), mimari (kubbe, kemer, dairesel planlar), makine tasarımı (rulman, volan, disk), fizik (dairesel hareket, sarkaç, dalga yayılımı), astronomi (gezegen yörüngeleri), otomotiv (direksiyon simidi, jant), günlük hayat (saat kadranı, madeni para, tabak, pizza, yüzük), bilgisayar grafikleri (daire çizimi), spor (basketbol potası, futbol topu), sanat (mozaik, tezhip), tarım (dairesel sulama sistemleri).
📌 2. Dönem 2. Yazılı
📖 KONU ÖZETİ (Detaylı)
📍 Uzay Geometri ve Katı Cisimler: Üç boyutlu (3D) geometrik şekillerdir. Temel katı cisimler: prizmalar, piramitler, silindir, koni, küre. Bu cisimlerin hacim, yüzey alanı, yanal alan, arakesit, benzerlik gibi özellikleri incelenir.
📍 Prizmalar: Tabanı çokgen, yan yüzleri dikdörtgen (veya paralelkenar) olan cisimlerdir.
– Dikdörtgenler Prizması: Hacim = a·b·c, Yüzey alanı = 2(ab+ac+bc), Cisim köşegeni = √(a²+b²+c²).
– Küp: Hacim = a³, Yüzey alanı = 6a², Cisim köşegeni = a√3.
– Dik Prizma: Hacim = Taban alanı · Yükseklik. Yüzey alanı = 2·Taban alanı + Yan alan (taban çevresi × yükseklik).
– Eğik Prizma: Hacim = Taban alanı · Yükseklik (dik yükseklik).
📍 Piramitler: Tabanı çokgen, yan yüzleri üçgen olan cisimlerdir.
– Hacim = (1/3)·Taban alanı·Yükseklik.
– Düzgün piramit: Tabanı düzgün çokgen, yan yüzleri eş ikizkenar üçgen.
– Kare piramit, üçgen piramit (dörtyüzlü).
📍 Silindir: Tabanı daire, yan yüzü dikdörtgen (açılımda) olan dönel cisim.
– Hacim = πr²h. Yanal alan = 2πrh. Toplam alan = 2πr² + 2πrh = 2πr(r+h).
📍 Koni: Tabanı daire, yan yüzü daire dilimi olan dönel cisim.
– Hacim = (1/3)πr²h. Yanal alan = πrl (l: ana doğru, l = √(r²+h²)). Toplam alan = πr² + πrl = πr(r+l).
📍 Küre: Merkezden eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu cisim.
– Hacim = (4/3)πr³. Yüzey alanı = 4πr².
📍 Kesik Piramit ve Kesik Koni:
– Kesik piramit: Hacim = (h/3)·(A₁ + A₂ + √(A₁·A₂)).
– Kesik koni: Hacim = (πh/3)·(r₁² + r₂² + r₁·r₂). Yanal alan = πl(r₁+r₂).
📍 Arakesit ve Dönel Cisimler: Bir düzlemin cisimle arakesiti (kesit alanı). Dönel cisimler (silindir, koni, küre) bir düzlemsel şeklin bir eksen etrafında döndürülmesiyle oluşur.
📍 Benzerlik ve Oranlar: Benzer cisimlerde hacim oranı = (benzerlik oranı)³, yüzey alanı oranı = (benzerlik oranı)².
📍 Birim Dönüşümleri: 1 L = 1 dm³ = 1000 cm³, 1 m³ = 1000 L. Hacim hesaplarında tüm boyutlar aynı birimde olmalıdır.
🎯 Öğrenci Koçu Notu
✨ Taktik: Prizma ve piramit formüllerini karıştırmamak için piramidin bir “noktada” birleştiğini hayal edin (hacmi 1/3). Silindir ve konide de benzer mantık: koni silindirin 1/3’ü. Yüzey alanı hesaplarken cismi “açarak” tüm yüzeyleri ayrı ayrı toplayın.
💪 Motivasyon: Koli kolisi (dikdörtgenler prizması), dondurma külahı (koni), top (küre), su deposu (silindir), piramit şeklindeki binalar, ambalaj tasarımı, inşaat (beton hacmi), mimari projeler, gemi ve uçak gövdeleri (hidrodinamik/aerodinamik).
📌 Püf Noktası: Koninin yüzey alanında πrl’deki l (ana doğru) = √(r²+h²) olduğunu unutmayın. Kürenin yüzey alanı 4πr², hacmi (4/3)πr³. Silindir yanal alan açılımda dikdörtgendir (2πr × h). Benzer cisimlerde alan ve hacim oranlarını kullanın.
⚠️ Sık Yapılan Hata: Prizma ile piramit hacmini karıştırmak (1/3’ü unutmak). Silindir yanal alanında 2πrh yerine πrh yazmak. Konide ana doğru (l) ile yüksekliği (h) karıştırmak. Küre yüzey alanında 4πr², hacminde 4/3πr³ formüllerini yanlış hatırlamak. Birim dönüşümlerinde hata yapmak.
🧠 Ezberleme İpucu: Prizmalar: V = Taban alanı · Yükseklik. Piramit/Koni: V = (1/3)·Taban alanı·Yükseklik. Küre: V = (4/3)πr³, A = 4πr². Silindir: V = πr²h, Yanal = 2πrh. “1/3” piramit ve koni için, “4/3” ve “4” küre için.
📈 Sınav Taktikleri: Önce cismin türünü belirleyin, formülü yazın, verileri yerine koyun. Yüzey alanı sorularında tüm yüzeyleri ayrı ayrı hesaplayıp toplayın. Hacim sorularında birim dönüşümüne dikkat edin. Kesik cisimlerde formülleri doğru uygulayın.
🔍 Derinlemesine Bakış: Uzay geometri, mühendislik, mimari, fizik, kimya, biyoloji, ambalaj tasarımı, lojistik, depolama, uzay bilimleri gibi birçok alanda kullanılır. Hacim ve yüzey alanı hesaplamaları, malzeme miktarı, kapasite, dayanıklılık gibi mühendislik parametrelerinin belirlenmesinde temel oluşturur. Ayrıca integral hesabının (hacim hesaplama) temelini oluşturur.
🥉 SEVİYE 1 – Temel
Soru 1: Taban alanı 15 cm², yüksekliği 6 cm olan bir prizmanın hacmi kaç cm³’tür?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 90 cm³.
Soru 2: Yarıçapı 3 cm olan bir kürenin hacmi kaç cm³’tür? (π=3 alınız.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 108 cm³.
Soru 3: Bir küpün bir ayrıtı 5 cm ise hacmi kaç cm³’tür?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 125 cm³.
Soru 4: Dikdörtgenler prizmasının boyutları 2, 3, 4 cm ise hacmi kaç cm³’tür?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 24 cm³.
Soru 5: Taban alanı 18 cm², yüksekliği 5 cm olan bir piramidin hacmi kaç cm³’tür?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 30 cm³.
Soru 6: Yarıçapı 2 cm, yüksekliği 6 cm olan bir silindirin hacmi kaç cm³’tür? (π=3 alınız.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 72 cm³.
Soru 7: Bir kürenin yüzey alanı 36π cm² ise yarıçapı kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 3 cm.
Soru 8: Yarıçapı 4 cm, ana doğrusu 5 cm olan koninin yanal alanı kaç cm²’dir? (π=3 alınız.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 60 cm².
Soru 9: Bir küpün yüzey alanı 150 cm² ise bir ayrıtı kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 5 cm.
Soru 10: Bir silindirin yanal alanı 120π cm², yüksekliği 10 cm ise yarıçapı kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 6 cm.
⭐ SEVİYE 2 – Orta
Soru 1: Taban ayrıtı 6 cm, yüksekliği 8 cm olan kare dik prizmanın hacmi ve yüzey alanı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: Yüzey alanı = 2·36 + 4·(6·8) = 72 + 192 = 264 cm².
Sonuç: Hacim=288 cm³, Yüzey=264 cm².
Soru 2: Bir silindirin yarıçapı 2 katına çıkarılıp yüksekliği yarıya indirilirse hacim nasıl değişir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: Hacim 2 kat artar.
Soru 3: Bir küpün cisim köşegeni 6√3 cm ise hacmi kaç cm³’tür?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 216 cm³.
Soru 4: Taban alanı 36 cm² olan kare piramidin yüksekliği 12 cm ise hacmi kaç cm³’tür?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 144 cm³.
Soru 5: Bir koninin ana doğrusu 10 cm, yarıçapı 6 cm ise yanal alanı kaç cm²’dir? (π=3 alınız.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 180 cm².
Soru 6: Bir silindirin hacmi 150π cm³, yarıçapı 5 cm ise yüksekliği kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 6 cm.
Soru 7: Bir dikdörtgenler prizmasının hacmi 240 cm³, ayrıtları 4 cm, 6 cm ve x cm ise x kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 10 cm.
Soru 8: Bir kürenin hacmi 36π cm³ ise yarıçapı kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 3 cm.
Soru 9: Taban yarıçapları 4 cm ve 6 cm, yüksekliği 9 cm olan kesik koninin hacmi kaç cm³’tür? (π=3 alınız.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 684 cm³.
Soru 10: Bir silindirin yanal alanı 100 cm², yüksekliği 10 cm ise taban çevresi kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 10 cm.
🔥 SEVİYE 3 – İleri
Soru 1: Bir küpün içine yerleştirilebilecek en büyük kürenin hacmi, küpün hacminin kaçta kaçıdır? (π≈3 alınız.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 1/2 (π=3 alındığında; gerçekte π/6 ≈ 0,524).
Soru 2: Bir dikdörtgenler prizmasının ayrıtları 3, 4, 5 ile orantılıdır. Hacmi 480 cm³ ise ayrıt uzunlukları kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: Ayrıtlar 6, 8, 10 cm.
Sonuç: 6 cm, 8 cm, 10 cm.
Soru 3: Bir silindirik kabın yarıçapı 10 cm, yüksekliği 20 cm’dir. Bu kap tamamen suyla dolduruluyor. Suyun tamamı, yarıçapı 5 cm olan küresel kaç top ile taşabilir? (Hacim oranı ile.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: Top sayısı = 2000π / ((500/3)π) = 2000·3/500 = 12.
Sonuç: 12 top.
Soru 4: Bir koni ile silindir aynı taban yarıçapına ve aynı yüksekliğe sahiptir. Koninin hacmi silindirin hacminin kaçta kaçıdır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 1/3.
Soru 5: Bir küpün tüm ayrıtları 2 katına çıkarılırsa hacmi ve yüzey alanı kaç kat artar?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: Hacim 8 kat, yüzey 4 kat artar.
Soru 6: Bir dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni 13 cm, ayrıtları 3 cm, 4 cm ve x cm ise x kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 12 cm.
Soru 7: Bir koninin açınımında yanal yüz 240°’lik daire dilimi, ana doğru 9 cm ise koninin taban yarıçapı kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 6 cm.
Soru 8: Bir dik piramidin tabanı kare, yüksekliği 12 cm, yan yüz yüksekliği (eğik yükseklik) 13 cm ise taban ayrıtı kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 10 cm.
Soru 9: Yarıçapı 4 cm olan bir kürenin içine yerleştirilebilecek en büyük küpün bir ayrıtı kaç cm’dir? (Küpün cisim köşegeni = küre çapı.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 8√3/3 cm.
Soru 10: Bir silindirin içine yerleştirilebilecek en büyük kürenin hacmi, silindir hacminin kaçta kaçıdır? (Silindir yarıçapı r, yüksekliği 2r.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 2/3.
📌 GERÇEK HAYAT UYGULAMALARI
İnşaat ve mimari (bina, köprü, kubbe), ambalaj tasarımı (kutu, şişe, teneke), depolama ve lojistik (konteyner, tank hacmi), gemi ve uçak gövdeleri (hidrodinamik/aerodinamik), tıp (organ hacim ölçümleri), fizik (dönel cisimler), mühendislik (boru, kablo, makine parçaları), günlük hayat (su deposu, mutfak kapları, top, dondurma külahı), spor (toplar, stadyum çatıları).
📌 2. Dönem 2. Yazılı
📖 KONU ÖZETİ (Detaylı)
📍 Temel Olasılık Kavramları:
– Deney: Sonucu belirsiz olan süreç (zar atma, para atma, top çekme).
– Çıktı (Sonuç): Bir deneyin olası tek sonucu.
– Örnek Uzay (E): Tüm olası çıktıların kümesi.
– Olay: Örnek uzayın herhangi bir alt kümesi.
– Olasılık: Bir olayın gerçekleşme ihtimali: P(A) = s(A) / s(E) (eş olasılıklı durumlarda). 0 ≤ P(A) ≤ 1. Tüm olayların olasılıkları toplamı 1’dir. Tümleyen: P(A’) = 1 − P(A).
📍 Sayma Yöntemleri:
– Toplama yoluyla sayma: Ayrık olayların sayısı toplanır.
– Çarpma yoluyla sayma: Ardışık olayların sayısı çarpılır.
– Faktöriyel: n! = n·(n−1)·…·1, 0! = 1.
– Permütasyon (Sıralama): n elemanlı kümeden r eleman seçip sıralama. Tekrarsız: P(n,r) = n!/(n−r)!. Tekrarlı: nʳ. Dairesel: (n−1)!.
– Kombinasyon (Seçme): n elemanlı kümeden r eleman seçme (sıra önemli değil). C(n,r) = n! / [r!(n−r)!]. Özellikler: C(n,0)=1, C(n,n)=1, C(n,r)=C(n,n−r), Pascal özdeşliği.
📍 Binom Açılımı: (x+y)ⁿ = Σ C(n,k)·xⁿ⁻ᵏ·yᵏ. Binom katsayıları Pascal üçgeni ile bulunur. Olasılık problemlerinde binom açılımı sıkça kullanılır.
📍 Bağımlı ve Bağımsız Olaylar:
– Bağımsız: Bir olayın sonucu diğerini etkilemez. P(A∩B) = P(A)·P(B).
– Bağımlı: Bir olayın sonucu diğerinin olasılığını değiştirir. Koşullu olasılık: P(B|A) = P(A∩B)/P(A).
– Ayrık Olaylar: P(A∪B) = P(A)+P(B). Ayrık değilse: P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B).
📍 Koşullu Olasılık ve Bayes Teoremi:
– P(B|A) = P(A∩B)/P(A) (P(A)>0).
– Bayes: P(A|B) = P(B|A)·P(A) / [P(B|A)·P(A) + P(B|A’)·P(A’)].
📍 Binom Dağılımı: n denemede k başarı gelme olasılığı: P(X=k) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ. Bu, Bernoulli denemeleri için temel formüldür.
📍 Beklenen Değer: Bir rastgele değişkenin ortalama değeri. E(X) = Σ xᵢ·P(xᵢ). Şans oyunlarında beklenen kazanç hesaplamalarında kullanılır.
📍 Gerçek Hayatta Olasılık: Risk analizi, sigorta primleri, hava tahmini, tıbbi teşhis, kalite kontrol, oyun teorisi, finansal yatırımlar, yapay zeka (karar verme), veri bilimi.
🎯 Öğrenci Koçu Notu
✨ Taktik: Permütasyonda sıra önemli, kombinasyonda önemli değil. “Kaç farklı şekilde sıralanır?” → permütasyon, “Kaç farklı şekilde seçilir?” → kombinasyon. Olasılık hesaplarken önce örnek uzayı (tüm durumları) belirleyin. Bağımlı/bağımsız ayrımını iyi yapın. “En az” veya “en çok” ifadelerinde tümleyeni (1 − istenmeyen) kullanın.
💪 Motivasyon: Piyango çekilişi, zar atışı, kura çekimi, sigorta risk hesaplamaları, hava durumu tahminleri, tıbbi teşhis olasılıkları, oyun teorisi (poker, blackjack), finansal yatırım riskleri, yapay zeka (karar verme mekanizmaları), veri bilimi ve makine öğrenmesi.
📌 Püf Noktası: İki olayın bağımsız olması için P(A∩B)=P(A)·P(B) eşitliği sağlanmalıdır. Koşullu olasılıkta sıralama önemlidir: P(A|B) ≠ P(B|A) genelde. Binom dağılımında p başarı olasılığı, n deneme sayısıdır.
⚠️ Sık Yapılan Hata: Permütasyon ile kombinasyonu karıştırmak. Faktöriyel hesaplarken 0! = 1’i unutmak. Olasılıkta tüm durumları doğru saymamak. Bağımlı olaylarda çarpma kuralını yanlış uygulamak. “En az” sorularında tümleyeni kullanmayı unutmak. Koşullu olasılıkta pay ve paydayı karıştırmak.
🧠 Ezberleme İpucu: Permütasyon P, Kombinasyon C. P(n,r)=n!/(n−r)!, C(n,r)=n!/[r!(n−r)!]. Olasılık = istenen/tüm. Tümleyen = 1 − P(A). Bağımsız ise çarp, bağımlı ise koşullu kullan. Binom: P(X=k)=C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ.
📈 Sınav Taktikleri: Soruda “sıralama” varsa permütasyon, “seçme” varsa kombinasyon düşün. Olasılık sorusunda şıkları değerlendirirken mantıkla kontrol et. Küçük sayılarda tüm durumları listeleyerek çözümü doğrula. Büyük sayılarda formülleri kullan. Binom sorusunda deneme sayısı ve başarı olasılığını doğru belirle.
🔍 Derinlemesine Bakış: Olasılık, belirsizlik altında karar verme bilimidir. Günümüzde veri bilimi, makine öğrenmesi, yapay zeka, kuantum fiziği, finans, sigorta, tıp, oyun teorisi gibi birçok alanın temelini oluşturur. İstatistikle birlikte düşünüldüğünde çok güçlü bir analiz aracıdır.
🥉 SEVİYE 1 – Temel
Soru 1: Bir zar atıldığında üst yüze 4 gelme olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: P = 1/6.
Sonuç: 1/6.
Soru 2: 5 farklı kitap bir rafa kaç farklı şekilde sıralanabilir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 120.
Soru 3: Hilesiz bir para atıldığında tura gelme olasılığı nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: P = 1/2.
Sonuç: 1/2.
Soru 4: 5 elemanlı bir kümenin alt küme sayısı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 32.
Soru 5: Bir torbada 4 kırmızı, 6 mavi top vardır. Rastgele çekilen bir topun mavi olma olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 3/5.
Soru 6: 3 kişi yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 6.
Soru 7: C(4,2) kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 6.
Soru 8: Bir olayın olma olasılığı 0,3 ise olmama olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 0,7.
Soru 9: Bir zar ve bir madeni para birlikte atılıyor. Kaç farklı sonuç (çıktı) vardır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 12.
Soru 10: 4 kişi arasından 2 kişilik bir komite kaç farklı şekilde seçilebilir?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 6.
⭐ SEVİYE 2 – Orta
Soru 1: 4 kız ve 3 erkek arasından 2 kişi seçilecektir. Seçilenlerin aynı cinsiyette olma olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: P = (6+3)/21 = 9/21 = 3/7.
Sonuç: 3/7.
Soru 2: Hilesiz iki zar atılıyor. Üst yüze gelen sayıların toplamının 7 olma olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: P = 6/36 = 1/6.
Sonuç: 1/6.
Soru 3: 5 kişi yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir? (Dairesel permütasyon.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 24.
Soru 4: Bir torbada 3 kırmızı, 4 mavi top vardır. Çekilen top geri atılmadan 2 top çekiliyor. İkisinin de mavi olma olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: P = (4/7)·(1/2) = 2/7.
Sonuç: 2/7.
Soru 5: 3 kız ve 2 erkek arasından 3 kişilik bir ekip seçilecektir. En az 1 erkek olma olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: En az 1 erkek = 1 − 1/10 = 9/10.
Sonuç: 9/10.
Soru 6: (x+y)⁴ açılımında x²y² teriminin katsayısı kaçtır? (Binom katsayısı.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 6.
Soru 7: Bir torbada 2 kırmızı, 3 mavi top vardır. Çekilen top geri atılmadan 2 top çekiliyor. İkisinin de farklı renkte olma olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: P = 6/10 = 3/5.
Sonuç: 3/5.
Soru 8: P(A)=0,4, P(B)=0,5, A ve B bağımsız ise P(A∩B) kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 0,2.
Soru 9: 6 kişi arasından 4 kişilik bir ekip kaç farklı şekilde seçilebilir? (Kombinasyon.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 15.
Soru 10: Bir torbada 5 mavi, 3 kırmızı top vardır. Rastgele 2 top çekiliyor (iadesiz). İkisinin de mavi olma olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: P = 10/28 = 5/14.
Sonuç: 5/14.
🔥 SEVİYE 3 – İleri
Soru 1: Bir torbada 3 mavi, 4 kırmızı bilye vardır. Torbadan art arda iki bilye çekiliyor ve çekilen bilye geri atılmıyor. İkisinin de mavi olma olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: P = (3/7)·(1/3) = 1/7.
Sonuç: 1/7.
Soru 2: Bir sınıfta 10 kız, 8 erkek vardır. Rastgele seçilen 2 öğrencinin ikisinin de kız olma olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: P = 45/153 = 15/51 = 5/17.
Sonuç: 5/17.
Soru 3: P(A)=0,6, P(B)=0,3, P(A∪B)=0,8 ise P(A∩B) kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: P(A∩B) = 0,9−0,8 = 0,1.
Sonuç: 0,1.
Soru 4: 5 farklı kitap 3 rafa kaç farklı şekilde yerleştirilebilir? (Her kitap herhangi bir rafa gidebilir.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 243.
Soru 5: Binom açılımı ile (2x−y)⁵ açılımında x³y² teriminin katsayısını bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 80.
Soru 6: Bir torbada 4 beyaz, 3 siyah top vardır. Rastgele 2 top çekiliyor (iadesiz). Çekilen topların ikisinin de beyaz olması koşuluyla, ilk çekilen topun beyaz olma olasılığı nedir? (Koşullu olasılık.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 1.
Soru 7: Bir zar 3 kez atılıyor. En az bir kez 6 gelme olasılığı kaçtır? (Tümleyen kullanın.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: En az bir 6 = 1 − 125/216 = 91/216.
Sonuç: 91/216.
Soru 8: Bir ürünün hatalı olma olasılığı 0,05’tir. 4 ürün seçildiğinde tam olarak 1 hatalı ürün olma olasılığı nedir? (Binom dağılımı.)
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: ≈0,1715.
Soru 9: Bir torbada 5 kırmızı, 3 mavi top vardır. Rastgele 2 top çekiliyor (iadesiz). İkisinin de kırmızı olma olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Adım 2: P = 10/28 = 5/14.
Sonuç: 5/14.
Soru 10: Beklenen değer: Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının beklenen değeri kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
Sonuç: 3,5.
📌 GERÇEK HAYAT UYGULAMALARI
Sigorta sektörü (risk hesaplama, prim belirleme), oyun teorisi (şans oyunları, poker, blackjack), finans (yatırım riski, opsiyon fiyatlama), tıp (hastalık teşhis olasılığı, test doğruluğu), meteoroloji (yağmur yağma olasılığı, hava tahmini), istatistiksel tahminler (seçim anketleri, piyasa araştırmaları), yapay zeka (karar verme, olasılıksal modeller), spor (maç sonucu tahminleri), günlük hayatta karar verme (alternatifler arasından seçim), kalite kontrol (üretim hataları), genetik (kalıtım olasılıkları).
📌 Trigonometri, Analitik Geometri
📌 Sınav Süresi: 40 dakika
📌 10 soru – Her sorunun çözümünü ayrıntılı gösteriniz.
Birim çemberde 135°’lik açının sinüs ve kosinüs değerlerini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: sin135° = √2/2, cos135° = –√2/2
sin30° + cos60° işleminin sonucunu bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 1
A(2,3) ve B(5,7) noktaları arasındaki uzaklığı hesaplayınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 5 birim
Bir üçgende a=8 cm, b=5 cm ve C açısı 60° ise c kenarının uzunluğunu bulunuz. (Kosinüs teoremi ile)
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 7 cm
Eğimi 2 olan ve A(1,3) noktasından geçen doğrunun denklemini yazınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: y = 2x + 1
tan 45° + cot 45° işleminin sonucu kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 2
sin² 30° + cos² 30° ifadesinin değeri kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 1
A(–2,4) noktasının orijine göre simetriği olan noktanın koordinatlarını bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: (2, –4)
Bir ABC üçgeninde sinüs teoremine göre a/sinA = b/sinB = c/sinC ifadesinin anlamını açıklayınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: Açıklama yapıldı.
x eksenini 3, y eksenini –2 noktasında kesen doğrunun denklemini yazınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: y = (2/3)x – 2
📌 Trigonometri, Analitik Geometri
📌 Sınav Süresi: 40 dakika
📌 10 soru – Her sorunun çözümünü ayrıntılı gösteriniz.
cos 150° + sin 120° işleminin sonucunu bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 0
A(–2,5) ve B(4,–1) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: –1
Bir ABC üçgeninde a=7 cm, b=8 cm, C=60° ise c kenarını bulunuz. (Kosinüs teoremi)
📝 Çözümü Göster
Sonuç: √57 cm
3 metre boyundaki bir direğin gölgesi 4 metredir. Güneş ışınlarının yer düzlemiyle yaptığı açı kaç derecedir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: yaklaşık 36,87°
İki noktası A(1,2) ve B(3,6) olan doğrunun denklemini yazınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: y = 2x
sin α = 3/5 ve α dar açı ise cos α ve tan α değerlerini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: cosα = 4/5, tanα = 3/4
Merkezi M(2,–3) ve yarıçapı 4 birim olan çemberin denklemini yazınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: (x – 2)² + (y + 3)² = 16
Bir ABC üçgeninde a = 6 cm, b = 8 cm, sinA = 3/5 ise sinB değerini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: sinB = 4/5
(4,0) ve (0,8) noktalarından geçen doğrunun denklemini yazınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 2x + y = 8
Bir ABC üçgeninde a = 2 cm, b = 3 cm, c = 4 cm ise A açısının kosinüsünü hesaplayınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: cosA = 7/8
📌 İleri Trigonometri, Analitik Geometri
📌 Sınav Süresi: 40 dakika
📌 10 soru – Her sorunun çözümünü ayrıntılı gösteriniz.
Birim çemberde açı α, II. bölgede ve sinα = 1/3 ise cosα ve tanα değerlerini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: cosα = –2√2/3, tanα = –√2/4
Bir ABC üçgeninde a = 6 cm, b = 8 cm, A = 30° ise sinB değerini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: sinB = 2/3
A(–2,1) noktasının y = x doğrusuna göre simetriğini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: (1, –2)
2 sin²θ – sinθ – 1 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: θ = π/2 + 2πk, θ = 7π/6 + 2πk, θ = 11π/6 + 2πk
Bir ABC üçgeninin alanı 24 cm², a = 8 cm, b = 6 cm ise C açısının sinüsünü bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: sinC = 1 → C = 90°
A(1,3) ve B(4,–1) noktalarını birleştiren doğrunun eğimini ve orta noktasını bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: m = –4/3, orta nokta (2,5, 1)
Bir ikizkenar üçgenin eşit kenarları 10 cm, tabanı 12 cm ise taban açılarının tanjantını bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: tan = 4/3
Merkezi M(3,–2) ve A(5,1) noktasından geçen çemberin denklemini yazınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: (x – 3)² + (y + 2)² = 13
Bir ABC üçgeninde A açısı 60°, b = 4 cm, c = 6 cm ise a kenarını ve üçgenin alanını bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: a = 2√7 cm, Alan = 6√3 cm²
d₁: 2x – y + 3 = 0 ve d₂: 4x – 2y – 5 = 0 doğrularının birbirine göre durumunu inceleyiniz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: Paraleldir.
📌 Fonksiyonlarda Uygulamalar, Trigonometri
📌 Sınav Süresi: 40 dakika
📌 10 soru – Her sorunun çözümünü ayrıntılı gösteriniz.
f(x) = x² – 3x + 2 fonksiyonunun tanım kümesi nedir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: R
f(x) = 2x – 5 fonksiyonu için f(3) değerini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 1
sin 45° + cos 45° toplamının değeri kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: √2
f(x) = 3x² – 2x + 1 ve g(x) = x – 4 fonksiyonları için (f + g)(x) i bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 3x² – x – 3
Bir üçgende iki iç açının ölçüsü 45° ve 60° ise diğer açının ölçüsünü bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 75°
f(x) = (x – 2)/(x + 1) fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: R \ {–1}
f(x) = x² – 4x + 3 fonksiyonunun x eksenini kestiği noktaları bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: (1,0) ve (3,0)
f(x) = 2x + 3 ve g(x) = x – 1 ise (f ∘ g)(x) bileşke fonksiyonunu bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 2x + 1
Bir dik üçgende bir dar açı 30° ve hipotenüs 10 cm ise bu açının karşısındaki kenar uzunluğu kaç cm’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 5 cm
f(x) = 3x² – 2x + 5 fonksiyonunun grafiğinin y eksenini kestiği noktayı bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: (0,5)
📌 Fonksiyonlarda Uygulamalar, Trigonometri
📌 Sınav Süresi: 40 dakika
📌 10 soru – Her sorunun çözümünü ayrıntılı gösteriniz.
f(x) = x² + 2x – 3 fonksiyonunun tepe noktasının koordinatlarını bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: (–1, –4)
f(x) = x² – 4x + 5 fonksiyonunun en küçük değerini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 1
sin x = 1/2 ve 0° < x < 90° ise x kaç derecedir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 30°
f(x) = 2x – 1 fonksiyonu bire bir midir? Açıklayınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: Evet, bire birdir.
Bir üçgenin kenar uzunlukları 5 cm, 6 cm ve 7 cm’dir. En büyük açıyı bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: arccos(1/5)
f(x) = x² – 5x + 6 fonksiyonunun köklerini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: {2, 3}
sec 60° – cot 45° işleminin sonucu kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 1
f(x) = 3x – 5 ve g(x) = x² + 1 ise (g ∘ f)(x) bileşke fonksiyonunu bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 9x² – 30x + 26
Bir ABC üçgeninde a = 2 cm, b = 3 cm, C = 60° ise c kenarını bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: √7 cm
f(x) = x² – 4x + 3 fonksiyonunun grafiğini çizmek için gerekli adımları açıklayınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: Açıklama yapıldı.
📌 İleri Fonksiyon Uygulamaları, Trigonometri
📌 Sınav Süresi: 40 dakika
📌 10 soru – Her sorunun çözümünü ayrıntılı gösteriniz.
f(x) = x³ – 3x² + 2x – 1 fonksiyonunun f(1) değerini ve türevini (varsa) bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: f(1) = –1, f'(x) = 3x² – 6x + 2
f(x) = x² – 6x + 10 fonksiyonunun en küçük değerini ve bu değeri aldığı x değerini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 1 (x=3)
2sin²x – 3sinx + 1 = 0 denkleminin [0°, 360°] aralığındaki çözüm kümesini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 30°, 90°, 150°
Bir ABC üçgeninde a = 5 cm, b = 7 cm, c = 8 cm ise üçgenin alanını bulunuz. (Heron formülü ile)
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 10√3 cm²
f(x) = x² – 4x + a fonksiyonunun x eksenine teğet olması için a kaç olmalıdır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: a = 4
Bir ABC üçgeninde a = 6 cm, b = 5 cm, A = 30° ise sinB değerini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: sinB = 5/12
Bir dairenin merkezi M(2,–1) ve çember üzerindeki bir nokta A(5,3) ise çemberin yarıçapını ve denklemini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: r = 5, (x – 2)² + (y + 1)² = 25
f(x) = x³ – 3x² + 2x + 1 fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: Artan: (–∞, 1–√3/3) ∪ (1+√3/3, ∞), Azalan: (1–√3/3, 1+√3/3)
A(1,2) noktasının 2x + 3y – 6 = 0 doğrusuna olan uzaklığını hesaplayınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 2√13/13 birim
Bir ABC üçgeninde a = 6 cm, b = 7 cm, c = 8 cm ise cosC değerini hesaplayınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: cosC = 1/4
📌 Parabol, Fonksiyon Dönüşümleri, Trigonometrik Grafikler
📌 Sınav Süresi: 40 dakika
📌 10 soru – Her sorunun çözümünü ayrıntılı gösteriniz.
f(x) = x² – 4x + 3 parabolünün tepe noktasını bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: (2, –1)
f(x) = –2x² + 8x – 5 parabolünün y eksenini kestiği noktayı bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: (0, –5)
y = x² parabolünün 2 birim sağa ötelenmesiyle oluşan fonksiyonun denklemini yazınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: y = (x – 2)²
sin x fonksiyonunun periyodu kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 2π
y = 3 sin(2x) fonksiyonunun genliği ve periyodu nedir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: Genlik 3, Periyot π
f(x) = x² + 2x – 3 fonksiyonunun x eksenini kestiği noktaları bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: (–3,0) ve (1,0)
y = cos(2x) fonksiyonunun periyodunu ve genliğini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: Genlik 1, Periyot π
y = x² parabolünün y eksenine göre yansıması sonucu oluşan fonksiyonun denklemini yazınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: y = x²
y = 2 sin x fonksiyonunun grafiğini y = sin x fonksiyonunun grafiğine göre nasıl bir değişimle elde ederiz?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: Dikey genişleme (genlik 2 kat)
f(x) = –x² + 4x – 3 parabolünün kollarının yönü nedir? Neden?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: Aşağı yönlü
📌 Parabol Problemleri, Fonksiyon Dönüşümleri, Trigonometrik Grafikler
📌 Sınav Süresi: 40 dakika
📌 10 soru – Her sorunun çözümünü ayrıntılı gösteriniz.
Tepe noktası T(3, –2) olan ve A(4, –1) noktasından geçen parabolün denklemini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: f(x) = (x – 3)² – 2
f(x) = x² + 2x + 3 fonksiyonunun grafiğinin 2 birim sola ötelenmesiyle oluşan yeni fonksiyonu yazınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: f(x) = x² + 6x + 11
y = 2 cos(3x – π) fonksiyonunun genliği, periyodu ve faz kaymasını (yatay öteleme) bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: Genlik 2, Periyot 2π/3, Yatay öteleme π/3 sağa
Bir parabolün x eksenini kestiği noktalar (–2,0) ve (4,0), y eksenini kestiği nokta (0, –8) ise parabolün denklemini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: f(x) = x² – 2x – 8
y = tan(2x) fonksiyonunun periyodunu ve asimptotlarının denklemlerini (ilk ikisi) bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: Periyot π/2, asimptot x = π/4, 3π/4
f(x) = x² – 4x + 4 parabolünün en küçük değerini aldığı noktayı bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: (2,0)
y = sin(x – π/2) grafiği, y = sin x grafiğinin hangi yönde ne kadar ötelenmesiyle elde edilir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: Sağa π/2
y = 2sin(3x) + 1 fonksiyonunun maksimum ve minimum değerlerini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: Maks 3, Min –1
f(x) = x² + 6x + c parabolünün tepe noktası x ekseni üzerinde ise c kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: c = 9
y = cos x fonksiyonunun grafiği y = cos(2x) fonksiyonunun grafiğine nasıl dönüşür?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: Yatay sıkıştırma (daralma) 1/2 kat
📌 Karma Parabol, Trigonometrik Dönüşümler ve Problemler
📌 Sınav Süresi: 40 dakika
📌 10 soru – Her sorunun çözümünü ayrıntılı gösteriniz.
Tepe noktası T(2, –3) olan ve y eksenini (0,5) noktasında kesen parabolün denklemini yazınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: f(x) = 2x² – 8x + 5
y = 3 sin(2x + π/4) fonksiyonunun genlik, periyot, faz kayması ve dikey kaymasını bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: Genlik 3, Periyot π, sola π/8
f(x) = x² – 2ax + a² – 1 parabolünün x eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 4 birim ise a değerlerini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: a ∈ R
y = 2 tan(3x – π/2) fonksiyonunun periyodu ve asimptotlarının denklemlerini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: Periyot π/3, asimptot x = π/3, 2π/3
Bir parabolün tepe noktası T(1, –4) ve y eksenini kestiği nokta (0, –3) ise bu parabolün x eksenini kestiği noktaları bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: (3,0) ve (–1,0)
f(x) = x² + bx + c parabolünün tepe noktası (2, –1) ise b + c toplamını bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: –1
y = sin x ve y = cos x fonksiyonlarının grafiklerinin kesişim noktalarından birinin koordinatlarını bulunuz.
📝 Çözümü Göster
f(x) = –2(x – 1)² + 3 parabolünün x eksenine göre simetriğini alarak elde edilen parabolün denklemini yazınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: y = 2(x – 1)² – 3
y = 2 – 4 sin(2x – π/3) fonksiyonunun maksimum ve minimum değerlerini, hangi x değerlerinde aldığını (genel çözüm) bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: Maks 6, x=11π/12+kπ; Min –2, x=5π/12+kπ
y = x² – 2x + 3 parabolü ile y = 2x – 1 doğrusunun kesişip kesişmediğini bulunuz. Kesişiyorsa noktalarını belirleyiniz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: (2,3)
📌 Analitik Geometri (Doğru ve Çember)
📌 Sınav Süresi: 40 dakika
📌 10 soru – Her sorunun çözümünü ayrıntılı gösteriniz.
A(2,3) ve B(5,7) noktaları arasındaki uzaklığı hesaplayınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 5 birim
A(–1,4) ve B(3,–2) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: –3/2
y = 3x – 2 doğrusunun eğimi ve y eksenini kestiği nokta nedir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: m=3, (0,–2)
Merkezi M(0,0) ve yarıçapı 4 birim olan çemberin denklemini yazınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: x² + y² = 16
Eğimi 2 olan ve A(1, –1) noktasından geçen doğrunun denklemini yazınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: y = 2x – 3
Merkezi M(–2,3) ve yarıçapı 5 olan çemberin denklemini yazınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: (x + 2)² + (y – 3)² = 25
2x – 3y + 6 = 0 doğrusunun x ve y eksenlerini kestiği noktaları bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: (0,2) ve (–3,0)
A(3,2) noktasının x eksenine ve y eksenine göre simetriklerini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: (3,–2), (–3,2)
x² + y² = 25 çemberi üzerindeki bir nokta A(3,4) olduğuna göre A noktasının çember üzerinde olup olmadığını kontrol ediniz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: Evet, üzerindedir.
İki doğrunun eğimleri eşit ise bu doğrular arasındaki ilişki nedir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: Paralel veya çakışık
📌 Analitik Geometri (Doğru ve Çember)
📌 Sınav Süresi: 40 dakika
📌 10 soru – Her sorunun çözümünü ayrıntılı gösteriniz.
A(–2,5) ve B(3,–1) noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: √61
Bir doğrunun eğim açısı 135° ise eğimi kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: –1
d₁: 2x – y + 3 = 0 ve d₂: 4x – 2y – 5 = 0 doğrularının birbirine göre durumunu belirleyiniz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: Paraleldir.
Merkezi M(–1,2) ve yarıçapı 3 birim olan çemberin denklemini yazınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: (x + 1)² + (y – 2)² = 9
A(4, –3) noktasının 3x – 4y + 10 = 0 doğrusuna olan uzaklığını bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 34/5 birim
x² + y² = 25 çemberinin merkezini ve yarıçapını bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: M(0,0), r=5
A(–3,2) ve B(4,–5) noktalarından geçen doğrunun denklemini yazınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: x + y + 1 = 0
x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0 çemberinin merkezini ve yarıçapını bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: M(2,–3), r=5
Kesişim noktaları aynı olan iki doğruya ne ad verilir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: Kesişen doğrular
Bir çemberin merkezi M(2, –1) ve üzerindeki bir nokta A(5,3) ise çemberin yarıçapını ve denklemini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: r=5, (x–2)²+(y+1)²=25
📌 Karma Analitik Geometri Problemleri
📌 Sınav Süresi: 40 dakika
📌 10 soru – Her sorunun çözümünü ayrıntılı gösteriniz.
A(–2,3) ve B(4,–1) noktalarını birleştiren doğrunun orta noktasını ve eğimini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: Orta (1,1), m = –2/3
x² + y² – 8x + 4y – 5 = 0 çemberinin merkezini ve yarıçapını bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: M(4,–2), r=5
A(–3,5) noktasının y = 2x + 1 doğrusuna göre simetriğini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: (1, –3)
d₁: 3x – 4y + 2 = 0 ve d₂: 6x – 8y – 5 = 0 doğruları arasındaki uzaklığı hesaplayınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 0,9 birim
x² + y² = 25 çemberi ile y = 3x doğrusunun kesişim noktalarını bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: (±√10/2, ±3√10/2)
Merkezi M(0,0) olan ve A(–3,4) noktasından geçen çemberin denklemini yazınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: x² + y² = 25
x + 2y – 4 = 0 doğrusu ile x – y + 2 = 0 doğrusunun kesişim noktasını bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: (0,2)
x² + y² – 6x + 2y + 6 = 0 çemberinin en büyük ve en küçük x değerlerini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: x_max = 5, x_min = 1
A(–2,1) ve B(4,–3) noktalarına eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri nedir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: Doğru (3x – 2y – 5 = 0)
Bir çemberin merkezi M(2, –1) ve x eksenine teğet ise denklemini yazınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: (x – 2)² + (y + 1)² = 1
🎯 11. Sınıf Matematik Yazılıya Hazırlık – MEB Senaryolarına Uygun Deneme Sınavları
📝 Toplam 12 deneme ve yüzlerce açık uçlu, çözümlü soru ile yazılılara tam hazırlık.
📖 Tüm hakları saklıdır – 11. Sınıf Matematik Yazılıya Hazırlık
