9. Sınıf Matematik Yazılıya Hazırlık Konu Anlatımı ve Sınav Soruları
🎯 9. Sınıf Matematik Yazılıya ve YKS’ye Hazırlık
Aşağıdaki butonlardan istediğiniz konuya tıklayarak detaylara ulaşabilirsiniz. Her konunun yanında hangi yazılıda çıkacağı belirtilmiştir.
📊 Nicelikler ve Değişimler
🧠 Algoritma ve Bilişim
📐 Geometrik Şekiller
🔍 Eşlik ve Benzerlik
📈 İstatistiksel Araştırma
🎲 Veriden Olasılığa
📝 MEB Senaryolarına Göre Deneme Sınavları
📖 İçindekiler – Konu Başlıkları (Tıklayarak ilgili konuya gidin)
📌 1. Dönem 1. Yazılı
📖 KONU ÖZETİ (Detaylı)
📌 Sayı Kümeleri: Doğal Sayılar (N) = {0,1,2,3,…}, Tam Sayılar (Z) = {…,-2,-1,0,1,2,…}, Rasyonel Sayılar (Q) = {a/b | a,b∈Z, b≠0}, İrrasyonel Sayılar (Q’) = {√2, π, e, …} (kesirli olarak yazılamayan), Gerçek Sayılar (R) = Q ∪ Q’. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ve Q’ ⊂ R.
📌 Gerçek Sayı Aralıkları: Sayı doğrusunda gösterim. Kapalı aralık [a,b] (a ve b dahil), açık aralık (a,b) (a ve b dahil değil), yarı açık [a,b) veya (a,b]. Eşitsizlik çözümleri ve aralıklarla işlemler (kesişim, birleşim).
📌 Üslü İfadeler: aⁿ = a×a×…×a (n tane). a⁰=1 (a≠0), a⁻ⁿ=1/aⁿ, aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ, aᵐ/aⁿ=aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ, (ab)ⁿ=aⁿ·bⁿ, (a/b)ⁿ=aⁿ/bⁿ.
📌 Köklü İfadeler: √a (a≥0), √a²=|a|, √a·√b=√(ab), √a/√b=√(a/b), (√a)ⁿ = √(aⁿ). Kök derecesi çift ise içerisi ≥0, tek ise tüm reel sayılar.
📌 Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler: a²−b²=(a−b)(a+b), (a±b)²=a²±2ab+b², a³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²), x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).
📌 Mutlak Değer: |x|, x’in sayı doğrusunda 0’a olan uzaklığıdır. |x| = x (x≥0), |x| = -x (x<0). |a·b| = |a|·|b|, |a/b| = |a|/|b| (b≠0).
📌 Oran – Orantı: a/b = c/d orantısında içler dışlar çarpımı: a·d = b·c. Doğru orantı, ters orantı, bileşik orantı.
🎯 Öğrenci Koçu Notu
✨ Taktik: Sayı kümelerini Venn şeması ile düşün. Her doğal sayı tam sayıdır, her tam sayı rasyoneldir (paydası 1). √2, √3 gibi sayılar irrasyoneldir. π ve e de irrasyoneldir.
💪 Motivasyon: Enflasyon hesaplamaları, istatistiksel verilerin sınıflandırılması, mühendislik hesaplamaları bu konuları kullanır.
📌 Püf Noktası: √a ifadesinde a ≥ 0 olmalıdır. Köklü ifadelerde çarpma ve bölme yaparken kök içleri aynı anda işleme alınabilir. Negatif üs, sayıyı paydaya atar.
⚠️ Sık Yapılan Hata: √a + √b = √(a+b) değildir! √a × √b = √(ab) doğrudur. (-2)⁴ = 16, -2⁴ = -16 (parantez önemli!).
🧠 Ezberleme İpucu: 1’den 20’ye kadar sayıların karelerini ve 1’den 10’a kadar küplerini ezberle. Bu, köklü ve üslü ifadelerde hız kazandırır.
📈 Sınav Taktikleri: Soruda “kaç farklı tam sayı değeri vardır?” ifadesi varsa aralık sorularına dikkat et. Eşitsizliklerde her iki tarafa aynı işlemi uygularken negatif sayı ile çarpma/bölmede yön değiştir.
🥉 SEVİYE 1 – Temel
Soru 1: a ve b birer gerçek sayı olmak üzere, 3 < a < 5 ve -2 < b < 4 olduğuna göre, a + b toplamının en geniş aralığını bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. a sayısı 3 ile 5 arasında olduğu için en küçük değeri 3’e çok yakın (3’ten büyük), en büyük değeri 5’e çok yakın (5’ten küçük).
2. b sayısı -2 ile 4 arasında olduğu için en küçük değeri -2’ye çok yakın ( -2’den büyük), en büyük değeri 4’e çok yakın (4’ten küçük).
3. a+b toplamının en küçük olması için a ve b’yi en küçük değerlerine yakın alırız: a→3, b→-2 → 3 + (-2) = 1. Ancak a>3 ve b>-2 olduğu için toplam 1’den büyük olmalıdır.
4. a+b toplamının en büyük olması için a ve b’yi en büyük değerlerine yakın alırız: a→5, b→4 → 5+4=9. a<5 ve b<4 olduğu için toplam 9'dan küçük olmalıdır.
Sonuç: 1 < a+b < 9
Soru 2: 2³ × 2⁵ işleminin sonucu kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Üslü sayılarda çarpma işlemi yaparken tabanlar aynı ise üsler toplanır. Kural: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
2. Burada taban 2, üsler 3 ve 5’tir.
3. Üsleri toplayalım: 3 + 5 = 8
4. Sonuç: 2⁸. 2⁸ = 2×2×2×2×2×2×2×2 = 256
Sonuç: 256
Soru 3: √36 ifadesinin değeri kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. √a, karesi a olan pozitif sayıdır. √a için a ≥ 0 olmalıdır.
2. Hangi sayının karesi 36 eder? 6² = 36, (-6)² = 36 ama karekök pozitif alınır.
3. O halde √36 = 6.
Sonuç: 6
Soru 4: |−7| + |3| işleminin sonucu kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Mutlak değer, sayının işaretsiz uzaklığını verir. |−7| = 7, |3| = 3.
2. 7 + 3 = 10
Sonuç: 10
Soru 5: 3/4 ile 5/6 arasındaki fark kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Paydaları eşitleyelim. 4 ve 6’nın EKOK’u 12’dir.
2. 3/4 = 9/12, 5/6 = 10/12.
3. Fark: 10/12 − 9/12 = 1/12
Sonuç: 1/12
Soru 6: 0,25 sayısını rasyonel sayı olarak ifade ediniz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. 0,25 = 25/100
2. Sadeleştirelim: 25/100 = 1/4
Sonuç: 1/4
Soru 7: (3²)³ işleminin sonucu kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Üslü sayıda üs kuralı: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
2. (3²)³ = 3²×³ = 3⁶
3. 3⁶ = 729
Sonuç: 729
Soru 8: √49 + √64 işleminin sonucu kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. √49 = 7, √64 = 8
2. 7 + 8 = 15
Sonuç: 15
Soru 9: a/b = 3/5 ve b = 10 ise a kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Orantıda içler dışlar çarpımı: a·5 = 3·b
2. b=10 ise a·5 = 30 → a = 6
Sonuç: 6
Soru 10: 2x + 3 = 11 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. 2x + 3 = 11 → 2x = 11 − 3 = 8
2. x = 8/2 = 4
Sonuç: 4
⭐ SEVİYE 2 – Orta
Soru 1: (x² – 4x + 4) / (x – 2) ifadesini sadeleştiriniz (x ≠ 2).
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Paydaki ifadeyi inceleyelim: x² – 4x + 4. Bu bir tam kare ifadedir.
2. Tam kare özdeşliği: (a – b)² = a² – 2ab + b². Burada a=x, b=2 için x² – 2·x·2 + 2² = x² – 4x + 4 elde edilir.
3. O halde x² – 4x + 4 = (x – 2)² olur.
4. Kesir şu hale gelir: (x – 2)² / (x – 2). Pay ve paydada (x-2) çarpanı var.
5. Sadeleştirme yaparken (x-2)² = (x-2)·(x-2) olduğundan bir (x-2) sadeleşir.
6. Sonuç: x – 2
Sonuç: x – 2
Soru 2: 2⁻³ + 4⁻² işleminin sonucu kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Negatif üs kuralı: a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a≠0).
2. 2⁻³ = 1/2³ = 1/8. (Çünkü 2³ = 8)
3. 4⁻² = 1/4² = 1/16. (Çünkü 4² = 16)
4. Toplama işlemi: 1/8 + 1/16. Paydaları eşitlemek için 1/8’i 2/16 olarak yazalım.
5. 2/16 + 1/16 = 3/16
Sonuç: 3/16
Soru 3: Aşağıdaki sayılardan hangisi irrasyoneldir? a) √25 b) 3/4 c) √2 d) 0,333…
📝 Kapsamlı Çözüm
1. √25 = 5, rasyoneldir (tam sayı).
2. 3/4, iki tam sayının oranı olduğu için rasyoneldir.
3. √2, karesi 2 olan sayıdır ve tam sayı değildir, kesirli olarak yazılamaz → irrasyoneldir.
4. 0,333… = 1/3, rasyoneldir.
Sonuç: c) √2
Soru 4: |x – 3| = 5 denkleminin çözüm kümesi nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. |x – 3| = 5 ise x – 3 = 5 veya x – 3 = -5.
2. x – 3 = 5 → x = 8
3. x – 3 = -5 → x = -2
Sonuç: Ç = {-2, 8}
Soru 5: √48 ifadesini sadeleştiriniz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. 48 = 16 × 3 = 4² × 3
2. √48 = √(4² × 3) = 4√3
Sonuç: 4√3
Soru 6: x + y = 8 ve x·y = 15 ise x² + y² kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. (x+y)² = x² + 2xy + y² özdeşliğinden x² + y² = (x+y)² – 2xy.
2. x+y=8 → 64, xy=15 → 2xy=30.
3. x² + y² = 64 – 30 = 34
Sonuç: 34
Soru 7: 3a = 4b ve a + b = 21 ise a kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. 3a = 4b → a/b = 4/3 → a = 4k, b = 3k.
2. a + b = 7k = 21 → k = 3.
3. a = 4·3 = 12
Sonuç: 12
Soru 8: (2x – 1)² ifadesini açınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. (a – b)² = a² – 2ab + b² özdeşliğini kullanalım. a=2x, b=1.
2. (2x)² – 2·(2x)·1 + 1² = 4x² – 4x + 1
Sonuç: 4x² – 4x + 1
Soru 9: 0,6 devirli ondalık gösterimini rasyonel sayı olarak ifade ediniz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. x = 0,666… olsun.
2. 10x = 6,666…
3. 10x – x = 6,666… – 0,666… = 6 → 9x = 6 → x = 6/9 = 2/3
Sonuç: 2/3
Soru 10: -3 ≤ 2x – 1 < 5 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. -3 ≤ 2x – 1 < 5 → her tarafa 1 ekleyelim: -2 ≤ 2x < 6.
2. Her tarafı 2’ye bölelim: -1 ≤ x < 3.
Sonuç: [-1, 3)
🔥 SEVİYE 3 – İleri
Soru 1: √(12) + √(27) – √(48) işleminin sonucu kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Köklü ifadeleri sadeleştirmek için sayıları asal çarpanlarına ayıralım:
– 12 = 4 × 3 = 2² × 3 → √12 = 2√3
– 27 = 9 × 3 = 3² × 3 → √27 = 3√3
– 48 = 16 × 3 = 4² × 3 → √48 = 4√3
2. Şimdi ifadeyi yazalım: 2√3 + 3√3 – 4√3
3. Katsayıları toplayıp çıkaralım: (2+3-4)√3 = 1√3 = √3
Sonuç: √3
Soru 2: a + b = 7 ve a·b = 12 ise a² + b² kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. (a+b)² = a² + 2ab + b² özdeşliğinden a² + b² = (a+b)² – 2ab.
2. a+b=7 → 49, ab=12 → 2ab=24.
3. a² + b² = 49 – 24 = 25
Sonuç: 25
Soru 3: x² – 5x + 6 ifadesini çarpanlarına ayırınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Çarpımı 6, toplamı -5 olan iki sayı: -2 ve -3.
2. x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)
Sonuç: (x-2)(x-3)
Soru 4: |x – 2| + |x + 3| = 7 denklemini sağlayan x değerlerini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Kritik noktalar: x=2, x=-3.
2. Aralıklara göre inceleyelim:
– x ≤ -3: |x-2| = 2-x, |x+3| = -x-3 → (2-x)+(-x-3)=7 → -2x-1=7 → x=-4 (kabul)
– -3 < x < 2: |x-2| = 2-x, |x+3| = x+3 → (2-x)+(x+3)=7 → 5=7 (çözüm yok)
– x ≥ 2: |x-2| = x-2, |x+3| = x+3 → (x-2)+(x+3)=7 → 2x+1=7 → x=3 (kabul)
Sonuç: x = -4 veya x = 3
Soru 5: (√5 + √3)(√5 – √3) işleminin sonucu kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. (a+b)(a-b) = a² – b² özdeşliğini kullanalım.
2. (√5)² – (√3)² = 5 – 3 = 2
Sonuç: 2
Soru 6: a/2 = b/3 = c/4 ve a + b + c = 27 ise a·b·c kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. a/2 = b/3 = c/4 = k olsun. a=2k, b=3k, c=4k.
2. a+b+c = 9k = 27 → k=3.
3. a=6, b=9, c=12 → a·b·c = 6·9·12 = 648
Sonuç: 648
Soru 7: x² + 6x + 9 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. x² + 6x + 9 = (x+3)² = 0
2. x+3=0 → x=-3 (çakışık kök)
Sonuç: Ç = {-3}
Soru 8: √(x² – 4x + 4) ifadesini sadeleştiriniz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. x² – 4x + 4 = (x-2)²
2. √(x-2)² = |x-2|
Sonuç: |x-2|
Soru 9: 2ˣ = 8 ve 3ʸ = 81 ise x + y kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. 2ˣ = 8 = 2³ → x=3
2. 3ʸ = 81 = 3⁴ → y=4
3. x+y = 3+4 = 7
Sonuç: 7
Soru 10: a, b, c pozitif tam sayılar ve a/b = 2/3, b/c = 4/5 ise a:c oranı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. a/b = 2/3 → a = 2k, b = 3k.
2. b/c = 4/5 → b = 4m, c = 5m.
3. b = 3k = 4m → k = 4t, m = 3t alalım.
4. a = 2·4t = 8t, c = 5·3t = 15t → a/c = 8/15
Sonuç: 8/15
📌 GERÇEK HAYAT BAĞLANTISI
Enflasyon hesaplamaları (üslü ifadeler), istatistiksel verilerin sınıflandırılması (sayı kümeleri), mühendislik hesaplamaları (kökler, çarpanlara ayırma), bilgisayar bilimlerinde sayı sistemleri ve algoritma analizi, oran-orantı ile harita ölçekleri ve yemek tariflerinde malzeme oranları.
📌 1. Dönem 1. Yazılı
📖 KONU ÖZETİ (Detaylı)
📌 Doğrusal Fonksiyonlar: f(x)=ax+b formundaki fonksiyonlardır. a eğim (değişim hızı), b y-kesişim noktasıdır (x=0). Grafik bir doğrudur. Eğim pozitifse sağa yatık, negatifse sola yatık, sıfırsa yatay doğru. Eğim, iki nokta arasındaki dikey değişimin yatay değişime oranıdır: m = Δy/Δx = (f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁).
📌 Mutlak Değer Fonksiyonu: |x| = x (x≥0), -x (x<0). Grafiği V şeklindedir. |x-a| = b denkleminin çözümü: x-a = b veya x-a = -b. Eşitsizliklerde |x|a → x < -a veya x > a. Mutlak değerli fonksiyonlarda tepe noktası, içeriyi sıfır yapan x değerindedir.
📌 Fonksiyonların Nitel Özellikleri: Artan (x büyüdükçe f(x) büyür), azalan (x büyüdükçe f(x) küçülür), sabit (değer değişmez). Periyodik fonksiyonlar belirli aralıklarla tekrar eder (ör: trigonometrik fonksiyonlar). Dönüşümler: f(x)+k (dikey öteleme), f(x-k) (yatay öteleme), -f(x) (x eksenine göre simetri), f(-x) (y eksenine göre simetri), k·f(x) (dikey germe/sıkıştırma).
📌 Doğrusal Denklem Sistemleri: ax+by=c ve dx+ey=f şeklinde iki bilinmeyenli iki denklem. Çözüm yöntemleri: yerine koyma, yok etme, grafik çizme. Sistemin tek çözümü varsa doğrular kesişir (eğimler farklı), sonsuz çözüm varsa doğrular çakışıktır (aynı doğru), çözüm yoksa doğrular paraleldir (eğimler eşit, sabit terimler farklı).
📌 Doğrusal Grafikler ve Yorumlama: Bir doğrunun x eksenini kestiği nokta (kök) y=0 için bulunur. y eksenini kestiği nokta x=0 için bulunur. İki doğrunun kesişim noktası, denklem sisteminin çözümüdür. Doğrunun denklemi eğim ve bir nokta ile yazılabilir: y – y₁ = m(x – x₁).
📌 Eşitsizlikler ve Aralıklar: Doğrusal eşitsizlikler (ax+b>0, ax+b<0) çözülürken işaret tablosu veya sayı doğrusu kullanılır. Mutlak değerli eşitsizliklerde aralık yöntemi uygulanır. Eşitsizlik sistemleri çözülürken ortak çözüm aralığı bulunur.
🎯 Öğrenci Koçu Notu
✨ Taktik: Doğrusal fonksiyonlarda eğim = (f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁). Mutlak değerli denklemlerde iki durumu (içerinin pozitif ve negatif) ayrı ayrı incele. Mutlak değerli eşitsizliklerde sayı doğrusu kullanarak aralık bulmak çok işe yarar.
💪 Motivasyon: Fizikte hareket denklemleri (sabit hızda yol = hız×zaman), ekonomi (arz-talep eğrileri), günlük hayatta hız-zaman grafikleri, maaş hesaplamaları (sabit ücret + prim) doğrusal fonksiyonlarla modellenir.
📌 Püf Noktası: f(x)=ax+b’de a=0 ise sabit fonksiyon. y=3 gibi doğrular yatay, x=2 gibi doğrular dikeydir (ancak x=2 bir fonksiyon değildir, çünkü bir x değerine birden fazla y karşılık gelir).
⚠️ Sık Yapılan Hata: Mutlak değerli denklemlerde çözüm kümesini yazarken her iki durumu da kontrol etmeyi unutma. |x| = -5 gibi bir denklemin çözümü yoktur (mutlak değer negatif olamaz). Doğrusal denklem sistemlerinde çözümü kontrol etmek için bulunan değerleri orijinal denklemlerde yerine koy.
🧠 Ezberleme İpucu: Eğim pozitif → sağa yatık ↗, eğim negatif → sola yatık ↘. Mutlak değer grafiğinin V şeklinde olduğunu ve tepe noktasının içeriyi sıfır yapan nokta olduğunu unutma.
📈 Sınav Taktikleri: Grafik sorusunda eksenleri kestiği noktaları bulmak hızlı çözüm sağlar. İki doğrunun kesişim noktasını bulmak için denklem sistemini çöz. “f(x)=… fonksiyonunun grafiği” dendiğinde önce eğim ve y-kesişimi belirle.
🔍 Derinlemesine Bakış: Doğrusal fonksiyonlar, değişim oranının sabit olduğu durumları modeller. Bu nedenle fizik, ekonomi, biyoloji gibi birçok alanda kullanılır. Mutlak değer ise uzaklık veya sapma ölçümlerinde karşımıza çıkar.
🥉 SEVİYE 1 – Temel
Soru 1: f(x) = 2x – 3 fonksiyonu veriliyor. f(2) değerini bulunuz ve fonksiyonun grafiğinin eğimini belirtiniz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. f(2) demek x yerine 2 yazmak demektir: f(2) = 2·2 – 3 = 4 – 3 = 1.
2. Doğrusal fonksiyon f(x)=ax+b formundadır. Burada a eğim, b y-kesişim noktasıdır.
3. f(x)=2x-3 olduğundan eğim (a) = 2’dir. Eğim pozitif olduğu için grafik sağa yatıktır.
Sonuç: f(2)=1, eğim=2
Soru 2: y = 3x + 1 doğrusunun x eksenini kestiği noktayı bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. x eksenini kestiği noktada y = 0’dır.
2. Denklemde y=0 yazalım: 0 = 3x + 1 → 3x = -1 → x = -1/3.
3. Nokta (-1/3, 0).
Sonuç: (-1/3, 0)
Soru 3: |x| = 7 denkleminin çözüm kümesi nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. |x| = 7 ise x = 7 veya x = -7.
2. Çözüm kümesi: {-7, 7}.
Sonuç: {-7, 7}
Soru 4: f(x) = -x + 4 fonksiyonunun grafiğinin y eksenini kestiği nokta nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. y eksenini kestiği noktada x = 0’dır.
2. f(0) = -0 + 4 = 4.
3. Nokta (0, 4).
Sonuç: (0, 4)
Soru 5: 2x + y = 5 denkleminde y’yi x cinsinden yazınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. 2x + y = 5 → y = 5 – 2x.
Sonuç: y = 5 – 2x
Soru 6: f(x) = 3x – 1 fonksiyonunun grafiği hangi noktadan geçer? (0, ?)
📝 Kapsamlı Çözüm
1. x=0 için f(0) = 3·0 – 1 = -1.
2. Grafik (0, -1) noktasından geçer.
Sonuç: (0, -1)
Soru 7: |x – 2| = 0 denkleminin çözümü nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. |x-2| = 0 ise x-2 = 0 → x = 2.
Sonuç: {2}
Soru 8: y = 2x doğrusunun eğimi kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. y = 2x → y = 2x + 0, eğim = 2.
Sonuç: 2
Soru 9: f(x) = 4 sabit fonksiyonunun grafiği nasıldır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Sabit fonksiyon f(x) = c, grafiği yatay bir doğrudur (eğim=0).
2. f(x)=4, y=4 doğrusu yataydır.
Sonuç: yatay doğru (y=4)
Soru 10: 3x – y = 6 denklemini sağlayan (x,y) ikililerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? a) (2,0) b) (1,3) c) (0,6)
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Her seçeneği deneyelim:
– (2,0): 3·2 – 0 = 6 → 6=6 (doğru).
– (1,3): 3·1 – 3 = 0 ≠ 6 (yanlış).
– (0,6): 3·0 – 6 = -6 ≠ 6 (yanlış).
Sonuç: a) (2,0)
⭐ SEVİYE 2 – Orta
Soru 1: |x – 3| = 5 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. |X| = a → X = a veya X = -a. Burada X = x-3, a=5.
2. x-3 = 5 → x=8.
3. x-3 = -5 → x=-2.
Sonuç: {-2, 8}
Soru 2: 2x + y = 5 ve x – y = 1 denklem sistemini çözünüz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Denklemleri alt alta toplayalım: (2x+y)+(x-y)=5+1 → 3x=6 → x=2.
2. x=2’yi ilk denklemde yazalım: 2·2 + y = 5 → 4+y=5 → y=1.
Sonuç: (2, 1)
Soru 3: f(x)=|2x-4| fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası nerededir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Tepe noktası, içeriyi sıfır yapan x değerindedir: 2x-4=0 → x=2.
2. f(2) = |2·2-4| = 0. Tepe noktası (2,0).
Sonuç: (2, 0)
Soru 4: Eğimi 3 olan ve y eksenini (0, -2) noktasında kesen doğrunun denklemini yazınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Doğru denklemi y = mx + b, m=eğim, b=y-kesişim.
2. m=3, b=-2 → y = 3x – 2.
Sonuç: y = 3x – 2
Soru 5: |x+1| < 3 eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. |x+1| < 3 → -3 < x+1 < 3.
2. Her taraftan 1 çıkaralım: -4 < x < 2.
Sonuç: (-4, 2)
Soru 6: f(x) = 2x + 1 ve g(x) = x – 3 fonksiyonları veriliyor. (f – g)(x) fonksiyonunu bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. (f-g)(x) = f(x) – g(x) = (2x+1) – (x-3) = 2x+1-x+3 = x+4.
Sonuç: x+4
Soru 7: Bir doğru (2, 5) ve (4, 9) noktalarından geçiyor. Bu doğrunun eğimini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Eğim m = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁) = (9-5)/(4-2) = 4/2 = 2.
Sonuç: 2
Soru 8: 3x – 2y = 6 doğrusunun eksenleri kestiği noktaları bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. x eksenini kestiği nokta (y=0): 3x – 2·0 = 6 → 3x=6 → x=2 → (2,0).
2. y eksenini kestiği nokta (x=0): 3·0 – 2y = 6 → -2y=6 → y=-3 → (0,-3).
Sonuç: (2,0) ve (0,-3)
Soru 9: |2x – 1| = 7 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. |2x-1| = 7 → 2x-1 = 7 veya 2x-1 = -7.
2. 2x-1=7 → 2x=8 → x=4.
3. 2x-1=-7 → 2x=-6 → x=-3.
Sonuç: {-3, 4}
Soru 10: y = -2x + 5 doğrusunun eğimini ve y-kesişimini belirleyiniz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. y = -2x + 5 → eğim m = -2, y-kesişim b = 5.
Sonuç: m=-2, b=5
🔥 SEVİYE 3 – İleri
Soru 1: f(x) = 2x – 1 ve g(x) = 3 – x fonksiyonları için (f + g)(x) fonksiyonunu bulunuz ve sıfırını (kökünü) hesaplayınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. (f+g)(x) = (2x-1)+(3-x) = x+2.
2. Kök: x+2=0 → x=-2.
Sonuç: (f+g)(x)=x+2, kök=-2
Soru 2: |x-1| + |x+1| = 4 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Kritik noktalar: x=-1 ve x=1.
2. Aralıklara ayıralım:
– x < -1: |x-1| = -(x-1), |x+1| = -(x+1) → -(x-1)-(x+1)=4 → -2x=4 → x=-2 (uygun).
– -1 ≤ x < 1: |x-1| = -(x-1), |x+1| = x+1 → -(x-1)+(x+1)=4 → 2=4 → çözüm yok.
– x ≥ 1: |x-1| = x-1, |x+1| = x+1 → (x-1)+(x+1)=4 → 2x=4 → x=2 (uygun).
3. Çözüm kümesi: {-2, 2}.
Sonuç: {-2, 2}
Soru 3: Bir doğrunun eğimi 2 ve (1,3) noktasından geçiyor. Doğrunun denklemini yazınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Eğim m=2, nokta (x₁,y₁)=(1,3).
2. y – y₁ = m(x – x₁) → y – 3 = 2(x – 1) → y – 3 = 2x – 2 → y = 2x + 1.
Sonuç: y = 2x + 1
Soru 4: 2x + 3y = 12 ve x – y = 1 denklem sistemini çözünüz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. x – y = 1 → x = y + 1.
2. İlk denklemde x yerine y+1 yazalım: 2(y+1) + 3y = 12 → 2y + 2 + 3y = 12 → 5y = 10 → y=2.
3. x = y+1 = 3.
Sonuç: (3, 2)
Soru 5: f(x) = |x-2| + 3 fonksiyonunun grafiğini çizmeden tepe noktasını ve minimum değerini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. |x-2| ifadesi x=2’de 0 olur. Tepe noktası x=2’dir.
2. f(2) = |2-2| + 3 = 0 + 3 = 3. Minimum değer 3’tür.
Sonuç: Tepe (2,3), minimum değer 3
Soru 6: y = x² – 4x + 3 parabolünün tepe noktasını bulunuz. (İpucu: Tam kareye tamamlama)
📝 Kapsamlı Çözüm
1. x² – 4x + 3 = (x² – 4x + 4) – 4 + 3 = (x-2)² – 1.
2. Tepe noktası (2, -1).
Sonuç: (2, -1)
Not: Bu soru parabol konusuna girer, ancak fonksiyon dönüşümleriyle bağlantılıdır.
Soru 7: |3x – 6| > 9 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. |3x-6| > 9 → 3x-6 > 9 veya 3x-6 < -9.
2. 3x > 15 → x > 5.
3. 3x < -3 → x < -1.
Sonuç: (-∞, -1) ∪ (5, ∞)
Soru 8: f(x) = 2x + 3 fonksiyonunu 2 birim yukarı öteleyerek yeni fonksiyonu yazınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Dikey öteleme: f(x) + k → 2 birim yukarı → k=2.
2. Yeni fonksiyon: g(x) = f(x) + 2 = 2x + 3 + 2 = 2x + 5.
Sonuç: g(x) = 2x + 5
Soru 9: Bir doğru (1, 2) ve (3, 8) noktalarından geçiyor. Bu doğrunun denklemini yazınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Eğim m = (8-2)/(3-1) = 6/2 = 3.
2. Nokta (1,2) ve m=3: y – 2 = 3(x – 1) → y – 2 = 3x – 3 → y = 3x – 1.
Sonuç: y = 3x – 1
Soru 10: f(x) = |x-2| – |x+2| fonksiyonunun parçalı gösterimini yazınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Kritik noktalar: x=-2 ve x=2.
2. Aralıklara ayıralım:
– x < -2: |x-2| = -(x-2), |x+2| = -(x+2) → f(x) = -(x-2) - (-(x+2)) = -x+2 + x+2 = 4.
– -2 ≤ x < 2: |x-2| = -(x-2), |x+2| = x+2 → f(x) = -(x-2) - (x+2) = -x+2 - x -2 = -2x.
– x ≥ 2: |x-2| = x-2, |x+2| = x+2 → f(x) = (x-2) – (x+2) = -4.
3. Parçalı gösterim: f(x) = { 4, x<-2; -2x, -2≤x<2; -4, x≥2 }
Sonuç: Yukarıdaki gibi.
📌 GERÇEK HAYAT BAĞLANTISI
Fizikte hareket denklemleri (sabit hızda yol = hız×zaman), ekonomi (arz-talep eğrileri), mühendislik (maksimum-minimum problemleri), günlük hayatta hız-zaman grafikleri, maaş hesaplamaları (sabit + değişken), nüfus değişimleri, sıcaklık değişimleri gibi birçok alanda doğrusal ilişkiler kullanılır. Mutlak değer ise hata payı, sapma, uzaklık hesaplamalarında karşımıza çıkar.
📌 1. Dönem 2. Yazılı
📖 KONU ÖZETİ (Detaylı)
📌 Mantık Bağlaçları: Önerme (doğru/yanlış ifade). Doğruluk tablosu ile gösterim. ∧ (ve): her iki önerme de doğru ise doğru, diğer durumlarda yanlış. ∨ (veya): en az biri doğru ise doğru. ¬ (değil): doğruluk değerini tersine çevirir. ⇒ (ise): p⇒q, yalnızca p doğru q yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğru. ⇔ (ancak ve ancak): aynı doğruluk değerine sahipse doğru. De Morgan Kuralları: ¬(p∧q) ≡ ¬p∨¬q, ¬(p∨q) ≡ ¬p∧¬q.
📌 Niceleyiciler: ∀ (her, bütün), ∃ (vardır, bazı). ∀x∈R, x²≥0 (her reel sayının karesi sıfırdan büyük eşittir). ∃x∈Z, x²=4 (tam sayılarda karesi 4 olan vardır). Niceleyicilerin değili: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x).
📌 Algoritma Temelli Problemler: Adım adım problem çözme süreci. Akış şeması elemanları: başla/bitir (oval), işlem (dikdörtgen), karar (eşkenar dörtgen), girdi/çıktı (paralelkenar). Sıralama algoritmaları (kabarcık sıralama, seçmeli sıralama) ve arama algoritmaları (doğrusal arama, ikili arama) kavramlarına giriş.
📌 Mantıksal Akıl Yürütme: Koşullu ifadeler (if-else), döngüler (for, while) kavramları. Algoritma analizi: adım sayısı, zaman karmaşıklığı kavramlarına giriş.
🎯 Öğrenci Koçu Notu
✨ Taktik: Mantıkta “ve” bağlacı her ikisi de doğru iken doğrudur. “Veya” bağlacı en az biri doğru iken doğrudur. “İse” bağlacında sadece p doğru q yanlış iken yanlıştır. “Ancak ve ancak” aynı değerlerde doğrudur.
💪 Motivasyon: Bilgisayar programlama (if-else, döngüler), yapay zeka algoritmaları, veri tabanı sorguları, günlük hayatta karar verme süreçleri bu konuyu temel alır.
📌 Püf Noktası: Bir önermenin değili (¬) doğruluk değerini ters çevirir. Niceleyicilerin değili alınırken ∀ → ∃, ∃ → ∀ dönüşür ve içerideki önerme değillenir.
⚠️ Sık Yapılan Hata: p⇒q önermesinde, p yanlış iken q ne olursa olsun önerme doğru kabul edilir. Bu durum (0⇒1 = 1, 0⇒0 = 1) sıkça karıştırılır. Ayrıca niceleyicilerin değili alınırken dikkatli olunmalıdır.
🧠 Ezberleme İpucu: De Morgan kurallarını akılda tutmak için: “ve”nin değili “değil veya değil”dir; “veya”nın değili “değil ve değil”dir. İse bağlacını hatırlamak için “p doğru q yanlış” tek yanlış durumu.
📈 Sınav Taktikleri: Doğruluk tablosu sorularında satır sayısı 2ⁿ (n=önerme sayısı). 3 önerme için 8 satır, 4 önerme için 16 satır. Algoritma sorusunda adımları dikkatlice takip et ve değişkenlerin değerlerini her adımda güncelle.
🔍 Derinlemesine Bakış: Mantık, matematiksel ispatların temelini oluşturur. Bilgisayar biliminde tüm karar yapıları mantıksal operatörlere dayanır. Algoritma düşünme becerisi, problem çözme yeteneğini geliştirir.
🥉 SEVİYE 1 – Temel
Soru 1: p: “3 > 2”, q: “5 < 4" önermeleri veriliyor. p ∧ q bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. p: “3 > 2” doğru → 1.
2. q: “5 < 4" yanlış → 0.
3. ∧ (ve): her ikisi doğru iken doğru. 1 ∧ 0 = 0.
Sonuç: 0 (yanlış)
Soru 2: p ⇒ q önermesinin doğruluk tablosunu yapınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. p ve q’nun 4 durumu: (1,1), (1,0), (0,1), (0,0).
2. p⇒q, sadece p=1, q=0 iken yanlıştır.
3. Tablo: (1,1)→1, (1,0)→0, (0,1)→1, (0,0)→1.
Sonuç: (1,0,1,1)
Soru 3: “2 + 2 = 4” önermesinin değilini (¬) yazınız ve doğruluk değerini belirleyiniz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Önerme p: “2+2=4” doğru (1).
2. Değili ¬p: “2+2 ≠ 4” yanlış (0).
Sonuç: ¬p = “2+2 ≠ 4”, doğruluk değeri 0
Soru 4: p: “İstanbul Türkiye’nin başkentidir.” q: “Ankara Türkiye’nin başkentidir.” p ∨ q önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. p: “İstanbul başkenttir” yanlış (0).
2. q: “Ankara başkenttir” doğru (1).
3. ∨ (veya): en az biri doğru ise doğru. 0 ∨ 1 = 1.
Sonuç: 1 (doğru)
Soru 5: ∀x∈N, x > 0 önermesinin doğruluk değeri nedir? (N doğal sayılar)
📝 Kapsamlı Çözüm
1. ∀ = “her” anlamında. “Her doğal sayı 0’dan büyüktür.”
2. Doğal sayılar {0,1,2,3,…} içinde 0 vardır ve 0 > 0 değildir.
3. Önerme yanlıştır.
Sonuç: 0 (yanlış)
Soru 6: p ∨ (q ∧ r) önermesinde p=1, q=0, r=1 ise bileşik önermenin doğruluk değeri nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. q ∧ r = 0 ∧ 1 = 0.
2. p ∨ 0 = 1 ∨ 0 = 1.
Sonuç: 1 (doğru)
Soru 7: “Bir sayı asal ise tek sayıdır.” önermesinin tersini yazınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. p⇒q şeklinde: p=”sayı asal”, q=”sayı tektir”.
2. Tersi: q⇒p (koşullar yer değiştirir).
3. “Bir sayı tek ise asaldır.” (bu önerme doğru değildir, örnek 9 tek ama asal değil).
Sonuç: “Bir sayı tek ise asaldır.”
Soru 8: p ⇔ q önermesinde p=0, q=0 için sonuç nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. ⇔ (ancak ve ancak): aynı doğruluk değerine sahipse doğru.
2. p=0, q=0 → aynı değerler → 1.
Sonuç: 1 (doğru)
Soru 9: ∃x∈Z, x² = -1 önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. ∃ = “vardır” anlamında. “Karesi -1 olan bir tam sayı var mı?”
2. Hiçbir tam sayının karesi negatif olamaz.
3. Önerme yanlıştır.
Sonuç: 0 (yanlış)
Soru 10: p: “Güneş doğudan batar.” q: “Güneş batıdan doğar.” p ∧ q önermesini sözel olarak ifade ediniz ve doğruluk değerini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. p: “Güneş doğudan batar.” → yanlış (0).
2. q: “Güneş batıdan doğar.” → yanlış (0).
3. p ∧ q = 0 ∧ 0 = 0.
4. Sözel: “Güneş doğudan batar ve batıdan doğar.”
Sonuç: 0 (yanlış)
⭐ SEVİYE 2 – Orta
Soru 1: (p ⇒ q) ≡ 0 olduğuna göre p ve q’nun doğruluk değerlerini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. p⇒q sadece p=1, q=0 iken yanlıştır.
2. (p⇒q)≡0 → p=1, q=0.
Sonuç: p=1, q=0
Soru 2: ∀x∈R, x² ≥ 0 önermesinin doğruluk değeri nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Her reel sayının karesi 0 veya pozitiftir.
2. Önerme doğru.
Sonuç: 1 (doğru)
Soru 3: (p ∨ q) ∧ ¬p bileşik önermesini sadeleştiriniz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. (p ∨ q) ∧ ¬p = (p ∧ ¬p) ∨ (q ∧ ¬p) [dağılma].
2. p ∧ ¬p = 0 (çelişki).
3. 0 ∨ (q ∧ ¬p) = q ∧ ¬p.
Sonuç: q ∧ ¬p
Soru 4: ¬(p ∧ ¬q) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? a) ¬p ∨ q b) ¬p ∧ q c) p ∨ ¬q
📝 Kapsamlı Çözüm
1. De Morgan: ¬(p ∧ ¬q) ≡ ¬p ∨ ¬(¬q) ≡ ¬p ∨ q.
2. a seçeneği ile aynı.
Sonuç: a) ¬p ∨ q
Soru 5: p ⇒ q ile (¬p ∨ q) aynı mıdır? Doğruluk tablosu ile gösteriniz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. p=1,q=1: p⇒q=1, ¬p∨q=0∨1=1.
2. p=1,q=0: p⇒q=0, ¬p∨q=0∨0=0.
3. p=0,q=1: p⇒q=1, ¬p∨q=1∨1=1.
4. p=0,q=0: p⇒q=1, ¬p∨q=1∨0=1.
5. Tüm satırlar aynı → denktir.
Sonuç: Evet, denktir.
Soru 6: ∀x∈Z, x² > 0 önermesinin değilini yazınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x).
2. ¬(x² > 0) ≡ x² ≤ 0.
3. Önerme: ∃x∈Z, x² ≤ 0.
Sonuç: ∃x∈Z, x² ≤ 0
Soru 7: (p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) olduğunu doğruluk tablosu ile gösteriniz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Tablo:
p q | p⇔q | p⇒q | q⇒p | (p⇒q)∧(q⇒p)
1 1 | 1 | 1 | 1 | 1
1 0 | 0 | 0 | 1 | 0
0 1 | 0 | 1 | 0 | 0
0 0 | 1 | 1 | 1 | 1
2. Sütunlar aynı → özdeşlik doğru.
Sonuç: Özdeşlik doğrudur.
Soru 8: “x = 2 ve y = 3” önermesi doğru iken, “x ≠ 2 veya y ≠ 3” önermesinin doğruluk değeri nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. p: x=2 ve y=3 → doğru (1).
2. ¬p: x≠2 veya y≠3 → yanlış (0).
Sonuç: 0 (yanlış)
Soru 9: p ∧ q ≡ 1 olduğuna göre, p ∨ q değeri nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. p ∧ q = 1 ise hem p hem q doğrudur (1).
2. p ∨ q = 1 ∨ 1 = 1.
Sonuç: 1
Soru 10: Bir akış şemasında karar sembolü (eşkenar dörtgen) içinde “x > 5?” sorusu var. x=3 için hangi yöne gidilir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. x=3, 3 > 5 değil → koşul yanlış (0).
2. Akış şemasında “hayır” veya “yanlış” yönüne gidilir.
Sonuç: Hayır (yanlış) yönü
🔥 SEVİYE 3 – İleri
Soru 1: (p ∨ q) ⇒ r önermesinin yanlış olması için p, q, r’nin doğruluk değerleri ne olmalıdır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. p⇒q yanlış olması için p=1, q=0.
2. Burada p yerine (p∨q), q yerine r: (p∨q)=1 ve r=0.
3. (p∨q)=1 için p=1 veya q=1 (veya her ikisi).
Sonuç: (p=1 veya q=1) ve r=0
Soru 2: (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) önermesinin en sade halini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Bu ifade p ile q’nun aynı doğruluk değerine sahip olduğu durumlarda doğrudur.
2. Yani p=1,q=1 veya p=0,q=0 → p ⇔ q.
Sonuç: p ⇔ q
Soru 3: ∀x∈R, ∃y∈R, x + y = 0 önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. ∀x∈R, ∃y∈R, x+y=0 → her x için y = -x vardır.
2. Bu doğrudur (toplama işleminin tersi var).
Sonuç: 1 (doğru)
Soru 4: (p ⇒ q) ⇒ (¬q ⇒ ¬p) önermesinin totoloji olduğunu gösteriniz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. ¬q ⇒ ¬p, p⇒q’nun karşıt tersidir ve her zaman p⇒q ile aynı doğruluk değerine sahiptir.
2. (p⇒q) ⇒ (¬q⇒¬p) şeklinde aynı önermenin kendisini gerektirmesi totolojidir.
3. Doğruluk tablosu ile tüm durumlarda 1 çıktığı gösterilebilir.
Sonuç: Totoloji
Soru 5: Aşağıdaki akış şemasını adım adım çalıştırınız: başla → x=5 → x=x+2 → x<10? (Evet ise döngüye dön, Hayır ise bitir). Kaç kez döngü çalışır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Başlangıç x=5.
2. x=x+2 → 7, x<10 evet (1. döngü).
3. x=7 → 9, x<10 evet (2. döngü).
4. x=9 → 11, x<10 hayır (dur).
5. Toplam 2 kez döngü çalışır.
Sonuç: 2 kez
Soru 6: ¬(∃x∈Z, x² = 4) önermesini sadeleştiriniz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x).
2. ¬(x² = 4) ≡ x² ≠ 4.
3. ∀x∈Z, x² ≠ 4.
Sonuç: ∀x∈Z, x² ≠ 4
Soru 7: (p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r) ∧ (¬q ∨ r) önermesini sadeleştiriniz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Bu ifade, (p∨q) ∧ (¬p∨r) ∧ (¬q∨r) şeklinde.
2. Dağılma kuralları ile sadeleştirilebilir. Sonuç: r ∨ (p∧q) ? (Bu tip ifadeler bazen Kofaktör veya konsensüs teoremi ile sadeleşir.)
3. Detaylı sadeleştirme: (p∨q) ∧ (¬p∨r) = (p∧¬p) ∨ (p∧r) ∨ (q∧¬p) ∨ (q∧r) = (p∧r) ∨ (q∧¬p) ∨ (q∧r). Sonra (¬q∨r) ile çarpılınca sonuç r ∨ (p∧q) olur.
Sonuç: r ∨ (p ∧ q)
Soru 8: p, q, r önermeleri için (p∧q) ∨ (q∧r) ∨ (r∧p) önermesinin doğru olması için kaç farklı doğruluk değeri kombinasyonu vardır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. 3 önerme için 2³=8 durum vardır.
2. Önerme, en az iki önermenin doğru olduğu durumlarda doğrudur.
3. Durumlar: (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,1,1) → 4 durum.
Sonuç: 4
Soru 9: (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r) önermesinin (p ⇒ (q ∧ r)) ile denk olduğunu gösteriniz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. (p⇒q) ∧ (p⇒r) ≡ (¬p∨q) ∧ (¬p∨r) ≡ ¬p ∨ (q∧r) [dağılma].
2. p ⇒ (q∧r) ≡ ¬p ∨ (q∧r).
3. İkisi aynı → denktir.
Sonuç: Denktir.
Soru 10: Bir sıralama algoritmasında 5 elemanlı bir listede kabarcık sıralaması en fazla kaç karşılaştırma yapar?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Kabarcık sıralamasında n eleman için maksimum karşılaştırma sayısı n(n-1)/2’dir.
2. n=5 → 5·4/2 = 10.
Sonuç: 10
📌 GERÇEK HAYAT BAĞLANTISI
Bilgisayar programlama (if-else koşulları, döngüler, algoritmalar), yapay zeka ve makine öğrenmesi (karar ağaçları, mantıksal çıkarım), veri tabanı sorguları (SQL’de AND, OR, NOT operatörleri), günlük hayatta karar verme süreçleri (akış şemaları), hukukta mantıksal akıl yürütme, matematiksel ispatlar ve teoremler. Algoritma düşünme becerisi, her türlü problemi sistematik çözmede temel rol oynar.
📌 2. Dönem 1. Yazılı
📖 KONU ÖZETİ (Detaylı)
📌 Üçgen Çeşitleri: Kenarlarına göre: eşkenar (tüm kenarlar eşit), ikizkenar (iki kenar eşit), çeşitkenar (tüm kenarlar farklı). Açılarına göre: dar açılı (tüm açılar < 90°), dik açılı (bir açı 90°), geniş açılı (bir açı > 90°).
📌 Üçgen Eşitsizliği: Bir üçgenin herhangi bir kenarı, diğer iki kenarın toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyük olmalıdır. |b-c| < a < b+c. Bu kural, verilen uzunlukların üçgen oluşturup oluşturmadığını kontrol etmek için kullanılır.
📌 Pisagor Bağıntısı: Dik üçgende hipotenüsün karesi, dik kenarların kareleri toplamına eşittir: a² + b² = c² (c hipotenüs). Sadece dik üçgenlerde geçerlidir. Hipotenüs, dik açının karşısındaki en uzun kenardır.
📌 Özel Üçgenler: 30-60-90 üçgeni: kenar oranları 1 (30° karşısı) – √3 (60° karşısı) – 2 (hipotenüs). 45-45-90 üçgeni: 1 – 1 – √2. 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 gibi Pisagor üçlüleri.
📌 Çokgenler ve Alan: Kare (alan = a², çevre = 4a), dikdörtgen (alan = a·b, çevre = 2(a+b)), üçgen (alan = (taban·yükseklik)/2), paralelkenar (alan = taban·yükseklik), yamuk (alan = (alt taban + üst taban)·yükseklik / 2).
📌 Benzerlik ve Eşlik: Benzer üçgenlerde karşılık gelen açılar eşit, kenarlar orantılıdır. Eş üçgenlerde ise tüm karşılık gelen kenar ve açılar eşittir. Benzerlik oranı kullanılarak bilinmeyen kenar uzunlukları bulunabilir.
📌 Açılar: Üçgende iç açılar toplamı 180°’dir. Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. İkizkenar üçgende taban açıları eşittir. Eşkenar üçgende tüm açılar 60°’dir.
🎯 Öğrenci Koçu Notu
✨ Taktik: Üçgen eşitsizliğinde en uzun kenarı diğer iki kenarın toplamıyla karşılaştır. 30-60-90 üçgeninde 30° karşısı hipotenüsün yarısı, 60° karşısı hipotenüsün √3/2 katıdır. 45-45-90 üçgeninde hipotenüs, dik kenarın √2 katıdır.
💪 Motivasyon: Mimari tasarımlar (çatı eğimleri, köprüler), mühendislik projeleri (üçgen dayamalar), harita okuma (üçgenleme), sanat (perspektif çizimleri), günlük hayatta merdiven hesaplamaları, arazi ölçümleri.
📌 Püf Noktası: Dik üçgende hipotenüs en uzun kenardır. Pisagor sadece dik üçgende geçerlidir. Bir üçgenin alanı hesaplanırken taban ve o tabana ait yükseklik kullanılır.
⚠️ Sık Yapılan Hata: Üçgen eşitsizliğinde kenarların sadece toplamını kontrol etmek yetmez, farkını da kontrol etmek gerekir. 30-60-90 üçgeninde kenar oranları karıştırılabilir (30°’nin karşısı en kısa kenardır). Pisagor uygularken hipotenüsü doğru belirle.
🧠 Ezberleme İpucu: Özel üçgen oranlarını “1-√3-2” (30-60-90) ve “1-1-√2” (45-45-90) olarak ezberle. Pisagor üçlülerini (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17) tanımak soru çözümünü hızlandırır.
📈 Sınav Taktikleri: Geometri sorularında verilmeyen uzunluğu bulmak için benzerlik veya Pisagor’u düşün. Açı sorularında iç açılar toplamı 180°’yi kullan. Alan sorularında yükseklik çizmek çoğu zaman çözümü kolaylaştırır.
🔍 Derinlemesine Bakış: Geometri, soyut düşünme ve görsel zekayı geliştirir. Üçgenler, tüm çokgenlerin temel yapı taşıdır; her çokgen üçgenlere ayrılarak alan ve açı hesaplamaları yapılabilir.
🥉 SEVİYE 1 – Temel
Soru 1: Bir üçgenin kenar uzunlukları 5 cm, 7 cm ve 10 cm’dir. Bu uzunlukların bir üçgen oluşturup oluşturmadığını belirleyiniz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. En uzun kenar 10 cm. Diğer iki kenar 5 ve 7 cm. Toplam = 12 cm.
2. 10 < 12 → eşitsizlik sağlanır.
3. Diğer kontroller: 5 < 7+10 (17), 7 < 5+10 (15) de sağlanır.
4. Ayrıca fark kontrolü: |7-5|=2 < 10 ve diğerleri de sağlanır.
Sonuç: Evet, üçgen oluşturur.
Soru 2: Bir dik üçgende dik kenarlar 3 cm ve 4 cm ise hipotenüs kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Pisagor: a² + b² = c². a=3, b=4.
2. 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = c² → c = 5.
Sonuç: 5 cm
Soru 3: Bir üçgenin iki iç açısı 45° ve 65° ise üçüncü açı kaç derecedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. İç açılar toplamı 180°.
2. 180° – (45° + 65°) = 180° – 110° = 70°.
Sonuç: 70°
Soru 4: Bir karenin bir kenarı 6 cm ise çevresi kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Karenin çevresi = 4 × kenar.
2. 4 × 6 = 24 cm.
Sonuç: 24 cm
Soru 5: Bir dikdörtgenin uzun kenarı 8 cm, kısa kenarı 5 cm ise alanı kaç cm²’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Dikdörtgenin alanı = uzun kenar × kısa kenar.
2. 8 × 5 = 40 cm².
Sonuç: 40 cm²
Soru 6: Bir eşkenar üçgenin bir kenarı 8 cm ise çevresi kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Eşkenar üçgende tüm kenarlar eşittir. Çevre = 3 × kenar.
2. 3 × 8 = 24 cm.
Sonuç: 24 cm
Soru 7: Bir ikizkenar üçgenin tepe açısı 40° ise taban açılarından biri kaç derecedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Taban açıları eşittir. Tepe açısı + 2x = 180°.
2. 40° + 2x = 180° → 2x = 140° → x = 70°.
Sonuç: 70°
Soru 8: Bir üçgenin kenarları 2 cm, 3 cm ve 6 cm olabilir mi? Neden?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. En uzun kenar 6 cm. Diğer iki kenar 2 ve 3 cm. Toplam = 5 cm.
2. 6 < 5 değil → eşitsizlik sağlanmaz.
3. Bu nedenle üçgen oluşmaz.
Sonuç: Hayır, çünkü 6 < 2+3 değil.
Soru 9: Bir dik üçgende hipotenüs 13 cm, bir dik kenar 5 cm ise diğer dik kenar kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Pisagor: a² + b² = c². c=13, a=5, b=?
2. 5² + b² = 13² → 25 + b² = 169 → b² = 144 → b=12.
Sonuç: 12 cm
Soru 10: Bir üçgenin iç açıları 60°, 60° ve 60° ise bu üçgenin türü nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Tüm açılar 60° olduğu için üçgen eşkenardır (aynı zamanda dar açılı).
Sonuç: Eşkenar üçgen
⭐ SEVİYE 2 – Orta
Soru 1: Bir üçgenin iç açıları 2x, 3x ve 4x ise en büyük açı kaç derecedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. 2x+3x+4x = 9x = 180° → x = 20°.
2. En büyük açı = 4x = 80°.
Sonuç: 80°
Soru 2: Bir dik üçgende hipotenüs 25 cm, bir dik kenar 7 cm ise diğer dik kenar kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Pisagor: 7² + b² = 25² → 49 + b² = 625 → b² = 576 → b=24.
Sonuç: 24 cm
Soru 3: Bir üçgenin iki kenarı 8 cm ve 15 cm ise üçüncü kenarın alabileceği tam sayı değerlerinin sayısı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. |15-8| < x < 15+8 → 7 < x < 23.
2. x tam sayı ve 7 ile 23 arasında: 8,9,10,…,22.
3. Terim sayısı = (22-8)+1 = 15.
Sonuç: 15
Soru 4: 30-60-90 üçgeninde hipotenüs 12 cm ise 30°’nin karşısındaki kenar kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. 30-60-90’da 30° karşısı = hipotenüs / 2.
2. 12 / 2 = 6 cm.
Sonuç: 6 cm
Soru 5: 45-45-90 üçgeninde dik kenarlardan biri 5 cm ise hipotenüs kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. 45-45-90’da hipotenüs = dik kenar × √2.
2. 5√2 cm.
Sonuç: 5√2 cm
Soru 6: Bir üçgenin benzerliği ile ilgili: ABC ~ DEF, |AB|=6 cm, |DE|=4 cm ise benzerlik oranı nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Benzerlik oranı = karşılık gelen kenarların oranı.
2. ABC / DEF oranı = 6/4 = 3/2.
Sonuç: 3/2
Soru 7: Bir üçgenin alanı 24 cm² ve tabanı 8 cm ise bu tabana ait yükseklik kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Alan = (taban × yükseklik) / 2 → 24 = (8 × h) / 2.
2. 24 = 4h → h = 6 cm.
Sonuç: 6 cm
Soru 8: Bir dik üçgende dik kenarlar 9 cm ve 12 cm ise hipotenüs kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Pisagor: 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = c² → c = 15.
Sonuç: 15 cm
Soru 9: Bir dikdörtgenin alanı 48 cm², uzun kenarı 8 cm ise kısa kenarı kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Alan = uzun × kısa → 48 = 8 × kısa → kısa = 6 cm.
Sonuç: 6 cm
Soru 10: Bir üçgenin dış açılarından biri 120° ise, bu açıya komşu olmayan iki iç açının toplamı kaç derecedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
2. Toplam = 120°.
Sonuç: 120°
🔥 SEVİYE 3 – İleri
Soru 1: ABC üçgeninde |AB|=5 cm, |AC|=12 cm, |BC|=13 cm ise bu üçgenin türünü belirleyiniz ve alanını hesaplayınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² → Pisagor sağlanır, dik üçgendir (hipotenüs 13).
2. Alan = (dik kenar çarpımı) / 2 = (5·12)/2 = 30 cm².
Sonuç: Dik üçgen, alan=30 cm²
Soru 2: 30-60-90 üçgeninde 60° karşısındaki kenar 9 cm ise hipotenüs kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. 30-60-90’da 60° karşısı = hipotenüs × √3/2.
2. 9 = h·√3/2 → h = 18/√3 = 6√3 cm.
Sonuç: 6√3 cm
Soru 3: Bir üçgenin kenarları 6, 8 ve 10 ile orantılıdır. Çevresi 48 cm ise en uzun kenar kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Kenarlar 6k, 8k, 10k. Çevre = 24k = 48 → k=2.
2. En uzun kenar = 10k = 20 cm.
Sonuç: 20 cm
Soru 4: ABC ~ DEF benzerliğinde, |AB|=6 cm, |DE|=4 cm ve Alan(ABC)=36 cm² ise Alan(DEF) kaç cm²’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Benzerlik oranı = 6/4 = 3/2 (ABC / DEF).
2. Alan oranı = benzerlik oranının karesi = (3/2)² = 9/4.
3. Alan(ABC)/Alan(DEF) = 9/4 → 36 / Alan(DEF) = 9/4 → Alan(DEF) = 36·4/9 = 16 cm².
Sonuç: 16 cm²
Soru 5: Bir ikizkenar üçgende eşit kenarlardan biri 13 cm, tabanı 10 cm ise alanı kaç cm²’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Taban 10 cm, taban yüksekliği tabanı iki eşit parçaya böler (5 cm).
2. Pisagor: yükseklik² = 13² – 5² = 169 – 25 = 144 → yükseklik = 12 cm.
3. Alan = (10·12)/2 = 60 cm².
Sonuç: 60 cm²
Soru 6: Bir dik üçgende hipotenüs 26 cm ve bir dik kenar 10 cm ise alanı kaç cm²’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Diğer dik kenar: b² = 26² – 10² = 676 – 100 = 576 → b=24.
2. Alan = (10·24)/2 = 120 cm².
Sonuç: 120 cm²
Soru 7: Bir üçgenin iç açıları 5:6:7 oranındadır. En küçük açı kaç derecedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Açılar 5k, 6k, 7k. Toplam = 18k = 180° → k=10°.
2. En küçük açı = 5k = 50°.
Sonuç: 50°
Soru 8: Bir yamuğun alt tabanı 12 cm, üst tabanı 8 cm ve yüksekliği 5 cm ise alanı kaç cm²’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Yamuğun alanı = (alt taban + üst taban) × yükseklik / 2.
2. (12+8)·5/2 = 20·5/2 = 50 cm².
Sonuç: 50 cm²
Soru 9: Bir üçgenin iki kenarı 7 ve 9 cm, bu kenarlar arasındaki açı 60° ise üçüncü kenar kaç cm’dir? (Kosinüs teoremi)
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Kosinüs teoremi: c² = a² + b² – 2ab·cosC, burada C=60°, a=7, b=9.
2. c² = 7² + 9² – 2·7·9·cos60° = 49 + 81 – 126·(1/2) = 130 – 63 = 67.
3. c = √67 cm.
Sonuç: √67 cm
Soru 10: Eşkenar üçgenin bir kenarı 6 cm ise alanı kaç cm²’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Eşkenar üçgen alanı = (a²√3)/4.
2. a=6 → (36√3)/4 = 9√3 cm².
Sonuç: 9√3 cm²
📌 GERÇEK HAYAT BAĞLANTISI
Mimari tasarımlar (çatı eğimleri, köprü ayakları, kubbeler), mühendislik projeleri (üçgen dayamalar, kafes sistemler), harita okuma ve arazi ölçümleri (üçgenleme yöntemi), sanat (perspektif çizimleri, altın oran), günlük hayatta merdiven hesaplamaları, televizyon/ekran boyutları (köşegen hesaplama), spor sahalarının ölçüleri, mobilya tasarımı ve yerleşim planlaması.
📌 2. Dönem 1. Yazılı
📖 KONU ÖZETİ (Detaylı)
📌 Geometrik Dönüşümler: Bir şeklin koordinat düzleminde yer değiştirmesi veya yön değiştirmesi.
– Öteleme: Şekil, belirli bir vektör kadar yer değiştirir: (x, y) → (x + a, y + b).
– Yansıma (Simetri): x eksenine göre: (x, y) → (x, -y); y eksenine göre: (x, y) → (-x, y); orijine göre: (x, y) → (-x, -y).
– Dönme: Orijin etrafında saat yönünde veya tersi yönde döndürme. 90° ters: (x, y) → (-y, x); 180°: (x, y) → (-x, -y); 270° ters (90° saat): (x, y) → (y, -x).
📌 Eşlik (≅): İki şekil birebir aynı boyut ve şekle sahipse eşttir. Üçgenlerde eşlik durumları:
– KKK (Kenar-Kenar-Kenar): Üç kenar da eşit.
– KAK (Kenar-Açı-Kenar): İki kenar ve aralarındaki açı eşit.
– AKA (Açı-Kenar-Açı): İki açı ve aralarındaki kenar eşit.
Eşlikte tüm karşılık gelen kenar ve açılar eşittir.
📌 Benzerlik (~): İki şekil aynı açılara sahip, ancak kenarları orantılı olarak farklı boyutta ise benzerdir. Üçgenlerde benzerlik durumları:
– AA (Açı-Açı): İki açı eşitse üçüncü açı da eşit olur ve üçgenler benzerdir.
– KAK (Kenar-Açı-Kenar): İki kenar orantılı ve aralarındaki açı eşit.
– KKK (Kenar-Kenar-Kenar): Tüm kenarlar orantılı.
Benzerlik oranı k ise, çevreler oranı k, alanlar oranı k², hacimler oranı k³ olur.
📌 Tales Teoremi: Bir üçgende, tabana paralel bir doğru çizildiğinde, kollar üzerinde orantılı parçalar oluşur. AD/DB = AE/EC (şekilde DE // BC). Ayrıca AD/AB = AE/AC = DE/BC.
📌 Öklid Bağıntıları: Dik üçgende hipotenüse ait yükseklik ile ilgili benzerlikler: h² = p·k, b² = k·a, c² = p·a (a hipotenüs, p ve k hipotenüs parçaları).
📌 Temel Orantı Teoremi: Bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı orantılı olarak böler.
🎯 Öğrenci Koçu Notu
✨ Taktik: Benzerlik oranı k ise alan oranı k², hacim oranı k³. Tales teoreminde doğru orantıyı kurarken karşılıklı kenarları doğru eşleştir. Benzerlik sorularında verilen benzerlik sembolüne dikkat et (sıralama önemli).
💪 Motivasyon: Harita ölçeklendirme (1:100.000), fotoğraf büyütme/küçültme (zoom), mimari maketler, robotik (kamera görüşü), bilgisayar oyunlarında nesne döndürme ve ölçekleme.
📌 Püf Noktası: Eşlikte tüm kenar ve açılar eşit, benzerlikte sadece açılar eşit, kenarlar orantılıdır. Eşlik özel bir benzerlik durumudur (k=1).
⚠️ Sık Yapılan Hata: Benzerlikte hangi kenarın hangi kenara karşılık geldiğini karıştırmak. Benzerlik oranını yazarken pay/payda sıralamasını düzgün yapmak. Tales teoreminde parçaları yanlış eşleştirmek (AD/DB = AE/EC, AD/AB = AE/AC değil).
🧠 Ezberleme İpucu: Eşlik sembolü ≅, benzerlik ~. Eşlik için KKK, KAK, AKA; benzerlik için AA, KAK, KKK. “Benzerlikte açılar eş, kenarlar orantılı” kalıbını akılda tut.
📈 Sınav Taktikleri: Benzerlik sorularında verilen tüm uzunlukları listeleyip karşılık gelen kenarları eşleştir. Tales teoremi ile ilgili sorularda, paralel olduğunu belirten işareti (//) ara. Dönüşüm sorularında kuralları uygularken işaretlere dikkat et.
🔍 Derinlemesine Bakış: Eşlik ve benzerlik, geometrinin temel taşlarıdır. Haritalar, mimari planlar, maketler, optik sistemler (mercekler) hep bu prensiplere dayanır. Ayrıca cebirsel orantı becerisi, ilerleyen konularda (trigonometri, analitik geometri) çok işe yarar.
🥉 SEVİYE 1 – Temel
Soru 1: Eşkenar üçgenin alanı 36√3 cm² ise bir kenar uzunluğunu bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Eşkenar üçgen alan formülü: A = (a²√3)/4.
2. 36√3 = (a²√3)/4 → 36 = a²/4 → a² = 144 → a = 12 cm.
Sonuç: 12 cm
Soru 2: A(2,3) noktasının x eksenine göre yansımasını bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. x eksenine göre yansıma: (x, y) → (x, -y).
2. A(2,3) → (2, -3).
Sonuç: (2, -3)
Soru 3: Bir ABC üçgeninde DE // BC, AD=4 cm, DB=6 cm, AE=5 cm ise EC kaç cm’dir? (Tales Teoremi)
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Tales: AD/DB = AE/EC → 4/6 = 5/EC.
2. 4·EC = 30 → EC = 7,5 cm.
Sonuç: 7,5 cm
Soru 4: B(3, -1) noktasının y eksenine göre yansıması nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. y eksenine göre yansıma: (x, y) → (-x, y).
2. (3, -1) → (-3, -1).
Sonuç: (-3, -1)
Soru 5: Bir üçgenin kenarları 4, 5 ve 6 cm’dir. Bu üçgene benzer olan bir üçgenin çevresi 30 cm ise, benzerlik oranı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Küçük üçgenin çevresi = 4+5+6 = 15 cm.
2. Büyük üçgenin çevresi = 30 cm.
3. Benzerlik oranı (büyük/küçük) = 30/15 = 2.
Sonuç: 2
Soru 6: Orijin etrafında 180° dönme dönüşümü altında A(2, -3) noktasının görüntüsü nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. 180° dönme: (x, y) → (-x, -y).
2. (2, -3) → (-2, 3).
Sonuç: (-2, 3)
Soru 7: İki üçgen benzerdir. Küçük üçgenin bir kenarı 6 cm, büyük üçgenin karşılık gelen kenarı 9 cm ise alanları oranı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Benzerlik oranı k = 6/9 = 2/3 (küçük/büyük).
2. Alan oranı = k² = (2/3)² = 4/9.
Sonuç: 4/9
Soru 8: A(3,4) noktasını (2, -1) vektörü kadar öteleyiniz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Öteleme: (x, y) → (x+a, y+b). a=2, b=-1.
2. (3+2, 4-1) = (5, 3).
Sonuç: (5, 3)
Soru 9: DEF üçgeni ABC üçgenine benzerdir. |AB|=8 cm, |DE|=12 cm ise benzerlik oranı nedir? (ABC/DEF)
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Benzerlik oranı = karşılık gelen kenarların oranı: 8/12 = 2/3.
Sonuç: 2/3
Soru 10: Bir dik üçgenin hipotenüsü 10 cm, yüksekliği 4,8 cm ise bu üçgenin dik kenarları kaç cm’dir? (Pisagor ve benzerlikten yararlanınız.)
📝 Kapsamlı Çözüm
1. 6-8-10 özel üçgeni vardır. Hipotenüs 10, yükseklik 4,8 (alan 24). Dik kenarlar 6 ve 8 cm’dir.
2. Pisagor kontrolü: 6²+8²=36+64=100=10².
Sonuç: 6 cm ve 8 cm
⭐ SEVİYE 2 – Orta
Soru 1: Bir ABC üçgeninde D ∈ AB, E ∈ AC, DE // BC, |AD|=4 cm, |DB|=8 cm, |DE|=5 cm ise |BC| kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. AD/AB = DE/BC (Tales). AB = AD+DB = 12 cm.
2. 4/12 = 5/BC → 4·BC = 60 → BC = 15 cm.
Sonuç: 15 cm
Soru 2: Orijin etrafında saat yönünün tersine 90° döndürülen A(3, -2) noktasının görüntüsü nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. 90° ters dönme: (x, y) → (-y, x).
2. (3, -2) → (2, 3).
Sonuç: (2, 3)
Soru 3: İki benzer üçgenin alanları oranı 4/9 ise çevreleri oranı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Alan oranı = k² → 4/9 = k² → k = 2/3.
2. Çevre oranı = k = 2/3.
Sonuç: 2/3
Soru 4: A(-2, 1) noktasının önce y eksenine göre yansıması, sonra x eksenine göre yansıması sonucu oluşan nokta nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. y eksenine göre yansıma: (-2,1) → (2,1).
2. x eksenine göre yansıma: (2,1) → (2,-1).
Sonuç: (2, -1)
Soru 5: Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik 6 cm, hipotenüs 10 cm ise hipotenüsün parçaları (p ve k) kaç cm’dir? (Öklid bağıntısı)
📝 Kapsamlı Çözüm
1. h² = p·k → 36 = p·k. Ayrıca p+k = 10.
2. p ve k kökleri: t² – 10t + 36 = 0 → diskriminant negatif, bu verilerle mümkün değil. (Aslında 6-8-10 üçgeninde yükseklik 4,8’dir, 6 olmaz.)
3. Soruyu düzeltelim: h=4,8 cm olsun. 4,8² = 23,04 = p·k, p+k=10 → p=6,4 ve k=3,6 (veya tersi).
Sonuç: p=6,4 cm, k=3,6 cm (yaklaşık)
Soru 6: Bir üçgenin kenarları 3, 4, 5 ile orantılıdır. Çevresi 60 cm ise en kısa kenar kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Kenarlar 3k, 4k, 5k. Çevre = 12k = 60 → k=5.
2. En kısa kenar = 3k = 15 cm.
Sonuç: 15 cm
Soru 7: ABC üçgeninde D ∈ AB, E ∈ AC, DE // BC, |AD|=3 cm, |DB|=5 cm, |AE|=2 cm ise |EC| kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. AD/DB = AE/EC → 3/5 = 2/EC → 3·EC = 10 → EC = 10/3 cm.
Sonuç: 10/3 cm
Soru 8: Orijin etrafında saat yönünde 90° döndürülen B(-1, 4) noktasının görüntüsü nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Saat yönünde 90° (270° ters) dönme: (x, y) → (y, -x).
2. (-1, 4) → (4, 1).
Sonuç: (4, 1)
Soru 9: İki üçgenin benzerlik oranı 3/5 ise alanları oranı nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Alan oranı = k² = (3/5)² = 9/25.
Sonuç: 9/25
Soru 10: Bir dikdörtgenin uzun kenarı 10 cm, kısa kenarı 6 cm’dir. Bu dikdörtgenin %50 küçültülmüş halinin uzun kenarı kaç cm olur? (Benzerlik oranı 1/2)
📝 Kapsamlı Çözüm
1. %50 küçültme → benzerlik oranı = 1/2.
2. Yeni uzun kenar = 10·(1/2) = 5 cm.
Sonuç: 5 cm
🔥 SEVİYE 3 – İleri
Soru 1: ABC üçgeninde D ∈ AB, E ∈ AC, DE // BC, |AD|=4 cm, |BD|=2 cm, |BC|=9 cm ise |DE| kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. AB = AD+DB = 4+2 = 6 cm. AD/AB = DE/BC → 4/6 = DE/9.
2. DE = (4/6)·9 = 6 cm.
Sonuç: 6 cm
Soru 2: Orijin etrafında 90° döndürülüp, ardından x eksenine göre yansıtılan A(2, -1) noktasının son görüntüsü nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. 90° ters dönme: (2,-1) → (1, 2).
2. x eksenine göre yansıma: (1, 2) → (1, -2).
Sonuç: (1, -2)
Soru 3: Dik üçgende hipotenüs 15 cm, hipotenüse ait yükseklik 7,2 cm ise dik kenarları bulunuz. (Benzerlik ve Pisagor kullanınız.)
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Dik üçgende alan = (a·b)/2 = (15·7,2)/2 = 54 cm². → a·b = 108.
2. Pisagor: a² + b² = 15² = 225.
3. (a+b)² = a²+b²+2ab = 225 + 216 = 441 → a+b = 21.
4. a ve b kökleri: t² – 21t + 108 = 0 → (t-9)(t-12)=0 → a=9, b=12 (veya tersi).
Sonuç: 9 cm ve 12 cm
Soru 4: İki üçgen benzerdir. Benzerlik oranı 2/3, küçük üçgenin alanı 16 cm² ise büyük üçgenin alanı kaç cm²’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Alan oranı = k² = (2/3)² = 4/9 (küçük/büyük).
2. 16 / Büyük = 4/9 → Büyük = 16·9/4 = 36 cm².
Sonuç: 36 cm²
Soru 5: Bir ABC üçgeninde D ∈ AB, E ∈ AC, DE // BC, |AD|=2|DB| ve |DE|=6 cm ise |BC| kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. AD = 2DB → AD/DB = 2. O halde AD/AB = 2/(2+1) = 2/3.
2. AD/AB = DE/BC → 2/3 = 6/BC → BC = 9 cm.
Sonuç: 9 cm
Soru 6: A(4, -2) noktasının orijin etrafında saat yönünde 90° döndürülüp, ardından y eksenine göre yansıtılmasıyla oluşan nokta nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Saat yönünde 90° (270° ters): (x,y) → (y, -x). (4, -2) → (-2, -4).
2. y eksenine göre yansıma: (-x, y) → (2, -4).
Sonuç: (2, -4)
Soru 7: Bir üçgenin kenarları 6, 8, 10 cm’dir. Bu üçgene benzer ve alanı 96 cm² olan üçgenin çevresi kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. 6-8-10 üçgeni dik üçgendir, alan = (6·8)/2 = 24 cm².
2. Alan oranı = 96/24 = 4 = k² → k = 2 (benzerlik oranı).
3. Küçük üçgenin çevresi = 6+8+10 = 24 cm. Büyük çevre = 24·2 = 48 cm.
Sonuç: 48 cm
Soru 8: ABC üçgeninde D ∈ AB, E ∈ AC, DE // BC, |AD|: |DB| = 2:3, |AE|=4 cm ise |AC| kaç cm’dir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. AD/DB = 2/3 → AD/AB = 2/5. Benzer şekilde AE/AC = 2/5.
2. 4/AC = 2/5 → AC = 10 cm.
Sonuç: 10 cm
Soru 9: İki benzer üçgenin çevreleri sırasıyla 24 cm ve 36 cm ise alanları oranı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Çevre oranı = k = 24/36 = 2/3.
2. Alan oranı = k² = (2/3)² = 4/9.
Sonuç: 4/9
Soru 10: Bir dik üçgenin dik kenarları 12 cm ve 16 cm’dir. Bu üçgenin hipotenüsüne indirilen yüksekliğin uzunluğu kaç cm’dir? (Benzerlik ve alandan yararlanınız.)
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Hipotenüs = √(12²+16²) = √(144+256) = √400 = 20 cm.
2. Alan = (12·16)/2 = 96 cm². Ayrıca alan = (20·h)/2 = 10h.
3. 10h = 96 → h = 9,6 cm.
Sonuç: 9,6 cm
📌 GERÇEK HAYAT BAĞLANTISI
Harita ölçeklendirme (1:100.000 gibi), fotoğraf büyütme/küçültme (zoom), mimari maketler ve proje çizimleri, robotik ve bilgisayar grafikleri (nesne döndürme, ölçekleme), sanat ve tasarımda perspektif çizimleri, ayna sistemleri ve optik (yansıma), günlük hayatta mobilya yerleşimi (ölçekli planlar), navigasyon sistemlerinde uzaklık hesaplamaları (benzerlik), inşaat mühendisliğinde kafes sistemler (üçgen benzerlikleri).
📌 2. Dönem 2. Yazılı
📖 KONU ÖZETİ (Detaylı)
📌 İstatistiksel Araştırma Adımları: 1) Araştırma sorusunun belirlenmesi (neyi ölçmek istiyoruz?) 2) Evren ve örneklem seçimi (tüm grup mu, yoksa temsili bir kısım mı?) 3) Veri toplama yöntemi (anket, gözlem, deney, mevcut kaynaklar) 4) Verilerin düzenlenmesi (frekans tablosu, sınıflandırma, gruplandırma) 5) Merkezi eğilim ölçülerinin hesaplanması (aritmetik ortalama, medyan, mod) 6) Yayılım ölçülerinin hesaplanması (açıklık, çeyrekler açıklığı, standart sapma) 7) Verilerin görselleştirilmesi (sütun, çizgi, daire, histogram, frekans poligonu) 8) Sonuçların yorumlanması ve raporlanması.
📌 Merkezi Eğilim Ölçüleri: Veri grubunun “merkezini” gösterir.
– Aritmetik ortalama: Tüm verilerin toplamı / veri sayısı. Aykırı değerlerden kolay etkilenir.
– Medyan (ortanca): Veriler küçükten büyüğe sıralandığında ortadaki değer. Veri sayısı tek ise ortadaki, çift ise ortadaki iki sayının ortalaması. Aykırı değerlerden etkilenmez (daha sağlam).
– Mod (tepe değer): En çok tekrar eden değer. Birden fazla olabilir veya hiç olmayabilir. Kategorik veriler için kullanışlıdır.
📌 Yayılım (Dağılım) Ölçüleri: Verilerin ne kadar dağıldığını gösterir.
– Açıklık (range): En büyük değer − en küçük değer. Basit ama aykırı değerlere duyarlı.
– Çeyrekler açıklığı (IQR): Üçüncü çeyrek (Q3) − birinci çeyrek (Q1). Verilerin orta %50’sini kapsar.
– Standart sapma: Verilerin ortalamadan ortalama sapmasının karekökü. Veri setinin yayılımını en iyi ölçen değerdir. σ = √(Σ(xᵢ−μ)² / N).
📌 Verileri Görselleştirme:
– Sütun grafiği: Kategorik veya sayısal verileri karşılaştırmak için.
– Çizgi grafiği: Zaman içindeki değişimi göstermek için.
– Daire grafiği: Parçaların bütüne oranını göstermek için. Dilim açısı = (frekans/toplam frekans) × 360°. Yüzde = (frekans/toplam) × 100.
– Histogram: Sürekli verilerin sınıflandırılmış frekans dağılımı. Sütunlar bitişiktir, alan frekansı verir.
– Frekans poligonu: Histogramın orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşur.
📌 Gruplandırılmış Veriler: Veriler belirli aralıklara (sınıflara) ayrılır. Sınıf genişliği, sınıf orta değeri, yığılmalı frekans hesaplanır. Gruplandırılmış verilerde ortalama yaklaşık olarak Σ(f·x)/Σf ile bulunur.
📌 Olasılık ve İstatistik: Bir olayın olasılığı = istenen durum sayısı / tüm durum sayısı. Z-skoru = (x-μ)/σ ile verinin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğu hesaplanır.
🎯 Öğrenci Koçu Notu
✨ Taktik: Medyan veriler sıralandıktan sonra ortadaki değerdir. Mod en çok tekrar eden değerdir. Açıklık max-min. Daire grafiğinde dilim açısı 360° üzerinden, yüzde 100 üzerinden hesaplanır.
💪 Motivasyon: Piyasa araştırmaları, anket sonuçları, hava durumu tahminleri, bilimsel çalışmalar, ekonomi (enflasyon, işsizlik), sağlık (hastalık yayılımı), eğitim (başarı analizleri) – istatistik hayatın her alanında!
📌 Püf Noktası: Aykırı değerler ortalamayı etkiler, medyan daha sağlamdır. Standart sapma küçükse veriler ortalamaya yakın, büyükse dağınıktır. Histogramda alan frekansı verir, sütun yüksekliği değil (eğer sınıf genişlikleri eşitse yükseklik de frekansla orantılıdır).
⚠️ Sık Yapılan Hata: Ortalama hesaplarken veri sayısına dikkat et. Medyan bulurken sıralamayı unutma. Daire grafiğinde açı veya yüzde hesaplarken orantıyı doğru kur. Histogram ile sütun grafiğini karıştırma (histogramda sütunlar bitişiktir).
🧠 Ezberleme İpucu: Ortalama = toplam/bölüm, Medyan = ortadaki, Mod = en çok. Açıklık = max-min. Çeyrekler açıklığı = Q3-Q1. Standart sapma = sapmaların karelerinin ortalamasının karekökü.
📈 Sınav Taktikleri: Veri analizi sorularında tüm seçenekleri hesaplamadan önce verileri sırala. Grafik sorularında eksen etiketlerine ve ölçeklere dikkat et. “Aykırı değer” varsa medyan ve mod daha doğru sonuç verir.
🔍 Derinlemesine Bakış: İstatistik, veri biliminin temelidir. Günümüzde yapay zeka, makine öğrenmesi, büyük veri analitiği hep istatistiksel yöntemlere dayanır. Bu konuyu iyi anlamak, geleceğin mesleklerinde büyük avantaj sağlar.
🥉 SEVİYE 1 – Temel
Soru 1: 3, 6, 8, 10, 13 sayılarının aritmetik ortalamasını ve medyanını bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Toplam = 3+6+8+10+13 = 40, veri sayısı = 5 → Ortalama = 40/5 = 8.
2. Veriler sıralı, 5 eleman (tek) → medyan = ortadaki 3. eleman = 8.
Sonuç: Ortalama=8, Medyan=8
Soru 2: 5, 5, 7, 9, 11, 13 veri grubunun modunu ve açıklığını bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Mod: 5 iki kez tekrar ediyor → mod = 5.
2. Açıklık = max−min = 13−5 = 8.
Sonuç: Mod=5, Açıklık=8
Soru 3: Bir veri grubunun aritmetik ortalaması 10, veri sayısı 6 ve verilerin toplamı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Toplam = ortalama × veri sayısı = 10 × 6 = 60.
Sonuç: 60
Soru 4: Aşağıdaki verilerin medyanını bulunuz: 2, 4, 6, 8, 10, 12.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Veriler sıralı, 6 eleman (çift) → medyan = (3. + 4.) / 2 = (6+8)/2 = 7.
Sonuç: 7
Soru 5: 15 kişilik bir sınıfta notlar: 40, 55, 60, 65, 70, 70, 75, 80, 80, 80, 85, 90, 95, 100, 100. Mod nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. En çok tekrar eden değer 80 (3 kez) → mod = 80.
Sonuç: 80
Soru 6: Bir sınıftaki öğrencilerin yaşları: 12, 13, 12, 14, 13, 12, 15. Bu verilerin aritmetik ortalaması kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Toplam = 12+13+12+14+13+12+15 = 91, veri sayısı = 7 → Ortalama = 91/7 = 13.
Sonuç: 13
Soru 7: Bir veri grubunun açıklığı 25 ve en büyük değeri 42 ise en küçük değeri kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Açıklık = max − min → 25 = 42 − min → min = 17.
Sonuç: 17
Soru 8: Daire grafiğinde bir dilimin merkez açısı 72° ise bu dilim tüm verilerin yüzde kaçını temsil eder?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Yüzde = (açı/360) × 100 = (72/360) × 100 = %20.
Sonuç: %20
Soru 9: Bir veri grubunun medyanı 15 ve 4. verisi 16 ise veri sayısı 7 olabilir mi? Açıklayınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Veri sayısı 7 (tek) → medyan = 4. sıradaki değer. Bu durumda 4. veri 15 olmalıydı. Ancak 4. veri 16 verilmiş, bu durumda medyan 15 olamaz. Dolayısıyla bu veri grubu 7 elemanlı olamaz.
Sonuç: Hayır, çünkü medyan 4. veri olmalıdır.
Soru 10: Bir sütun grafiğinde bir sütunun yüksekliği 8 br, diğerinin yüksekliği 5 br ise bu iki kategorinin frekans oranı nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Frekans oranı = yükseklik oranı = 8/5.
Sonuç: 8:5
⭐ SEVİYE 2 – Orta
Soru 1: 12, 15, 18, x, 20, 22 verilerinin ortalaması 18 ise x kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Toplam = ortalama × veri sayısı = 18×6 = 108.
2. Mevcut toplam = 12+15+18+x+20+22 = 87+x → 87+x = 108 → x=21.
Sonuç: x=21
Soru 2: 10 kişilik bir sınıfın notları: 30,45,50,60,60,75,80,85,90,100. Ortalama, medyan, mod ve açıklığı bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Toplam = 675 → ortalama = 67,5.
2. Medyan (çift) = (60+75)/2 = 67,5.
3. Mod = 60 (2 kez).
4. Açıklık = 100−30 = 70.
Sonuç: Ort=67,5, Med=67,5, Mod=60, Aç=70
Soru 3: Bir veri grubunun aritmetik ortalaması 12, açıklığı 15, medyanı 10 ise veri sayısı en az kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Açıklık 15 ve medyan 10 olacak şekilde örnek: 5, 10, 15, 20 → medyan = 12,5 (değil).
2. 4 veri ile mümkün: 5, 10, 10, 20 → ortalama 11,25, açıklık 15, medyan 10 → koşullar sağlanır. En az 4 veri.
Sonuç: 4
Soru 4: Bir sınıftaki öğrencilerin boy uzunlukları (cm): 150, 155, 160, 165, 170, 175, 180, 185, 190, 195. Bu veri grubunun çeyrekler açıklığını (IQR) bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Sıralı, 10 veri. Alt medyan (Q1) = 2. ve 3. verinin ortalaması = (155+160)/2 = 157,5.
2. Üst medyan (Q3) = 8. ve 9. verinin ortalaması = (185+190)/2 = 187,5.
3. IQR = Q3−Q1 = 187,5−157,5 = 30.
Sonuç: 30
Soru 5: Bir daire grafiğinde 3 farklı kategorinin verileri sırasıyla 120, 180 ve 60 kişidir. Her bir kategorinin merkez açısı kaç derecedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Toplam = 120+180+60 = 360.
2. Açı = (frekans/toplam) × 360° → 120/360 × 360 = 120°, 180/360 × 360 = 180°, 60/360 × 360 = 60°.
Sonuç: 120°, 180°, 60°
Soru 6: 5, 7, 9, 11, 13 veri grubuna bir aykırı değer olan 100 eklendiğinde ortalama ve medyan nasıl değişir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Eski ortalama = (5+7+9+11+13)/5 = 9, medyan = 9.
2. Yeni ortalama = (5+7+9+11+13+100)/6 = 145/6 ≈ 24,17 (artar).
3. Yeni medyan = (9+11)/2 = 10 (az artar).
4. Medyan daha az etkilenir.
Sonuç: Ortalama çok artar, medyan az artar.
Soru 7: Bir histogramda sınıf aralıkları eşit ve 5 br, sınıf frekansları sırasıyla 4, 6, 8, 5 ise toplam veri sayısı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Toplam frekans = 4+6+8+5 = 23.
Sonuç: 23
Soru 8: Bir veri grubunun standart sapması 2, ortalaması 15’tir. Verilerden biri 19 ise bu verinin z-skoru kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. z = (x−μ)/σ = (19−15)/2 = 4/2 = 2.
Sonuç: 2
Soru 9: 10, 20, 30, 40, 50 verilerinin standart sapmasını hesaplayınız. (Popülasyon standart sapması formülünü kullanın.)
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Ortalama = (10+20+30+40+50)/5 = 30.
2. Sapmalar: -20, -10, 0, 10, 20. Kareleri: 400, 100, 0, 100, 400. Toplam = 1000.
3. Varyans = 1000/5 = 200. Standart sapma = √200 ≈ 14,14.
Sonuç: ≈14,14
Soru 10: Bir araştırmada 100 kişiye anket uygulanmış, 60’ı “evet” demiştir. Daire grafiğinde “evet” kategorisinin merkez açısı kaç derecedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Açı = (60/100) × 360 = 216°.
Sonuç: 216°
🔥 SEVİYE 3 – İleri
Soru 1: Bir veri grubunun ortalaması 8, standart sapması 2’dir. Verilerden biri 12, diğeri 4 ise bu iki verinin z-skorları toplamı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. z₁ = (12−8)/2 = 2, z₂ = (4−8)/2 = −2.
2. Toplam = 2 + (−2) = 0.
Sonuç: 0
Soru 2: 3, 5, 7, 9, 11, 13 verilerinin standart sapması ile 3, 5, 7, 9, 11, 13, 100 (aykırı değer) verilerinin standart sapmasını karşılaştırınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. İlk grup için ortalama = 8, sapmalar kare toplamı = 70, varyans=70/6≈11,67, σ≈3,42.
2. Aykırı değerli grupta ortalama ≈21,14, sapma kare toplamı büyük, σ≈34,26.
3. Aykırı değer standart sapmayı çok arttırır.
Sonuç: Aykırı değer standart sapmayı önemli ölçüde artırır.
Soru 3: Bir histogramda sınıf aralıkları 0-10, 10-20, 20-30 şeklinde, frekanslar 5, 8, 7’dir. Bu verilerin gruplandırılmış ortalamasını yaklaşık olarak hesaplayınız.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Sınıf orta değerleri: 5, 15, 25.
2. Ağırlıklı ortalama = (5·5 + 8·15 + 7·25) / (5+8+7) = (25+120+175)/20 = 320/20 = 16.
Sonuç: 16
Soru 4: Bir veri grubunun Q1=20, Q3=80 ise çeyrekler açıklığı (IQR) kaçtır ve bu veri grubunda aykırı değer sınırları nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. IQR = Q3−Q1 = 60.
2. Aykırı değer sınırları: Alt sınır = Q1 − 1,5·IQR = 20−90 = −70; Üst sınır = Q3 + 1,5·IQR = 80+90 = 170.
Sonuç: IQR=60, sınırlar (-70, 170)
Soru 5: Bir daire grafiğinde A kategorisinin merkez açısı 120°, B kategorisi 90°, C kategorisi ise kalan dilimi temsil ediyor. C kategorisinin yüzdesi kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. C açısı = 360 − 120 − 90 = 150°.
2. Yüzde = (150/360) × 100 = 41,67%.
Sonuç: %41,67
Soru 6: 10, 12, 14, 16, 18, 20 verilerinin standart sapmasını hesaplayınız. Daha sonra her veriye 5 ekleyerek yeni standart sapmayı bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. İlk grup: ortalama=15, sapmalar: -5,-3,-1,1,3,5, kareler toplamı=70, varyans=70/6≈11,67, σ≈3,42.
2. Her veriye 5 eklenirse ortalama 20 olur, sapmalar değişmez → standart sapma aynı kalır (≈3,42).
Sonuç: Her iki durumda da ≈3,42
Soru 7: Bir sınıftaki öğrencilerin notları 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100’dür. Bu veri grubunun ortalama, medyan, mod, açıklık ve standart sapmasını bulunuz.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Ortalama = (40+50+60+70+80+90+100)/7 = 490/7 = 70.
2. Medyan (7 eleman) = 4. eleman = 70.
3. Mod: tüm değerler eşit frekansa sahip → mod yok.
4. Açıklık = 100−40 = 60.
5. Standart sapma: sapmalar -30,-20,-10,0,10,20,30, kareler toplamı = 2800, varyans = 2800/7 = 400, σ = √400 = 20.
Sonuç: Ort=70, Med=70, Mod=yok, Aç=60, σ=20
Soru 8: Bir araştırmada 200 kişiye sorulan “en sevdiğiniz renk” sorusuna 80 kişi mavi, 60 kişi kırmızı, 40 kişi yeşil, 20 kişi sarı demiştir. Daire grafiğinde sarı rengin açısı kaç derecedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Sarı frekansı = 20, toplam = 200 → oran = 20/200 = 0,1.
2. Açı = 0,1 × 360 = 36°.
Sonuç: 36°
Soru 9: Bir veri grubunun ortalaması 25, standart sapması 4’tür. Hangi değerler ortalamanın 1 standart sapma içinde kalır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. 1 standart sapma aralığı: μ−σ = 25−4 = 21, μ+σ = 25+4 = 29. Yani 21 ile 29 arasındaki değerler.
Sonuç: [21, 29] arası
Soru 10: Bir fabrikada üretilen ürünlerin ağırlıkları (gram) 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60’tır. Standart sapmayı hesaplayın ve yorumlayın.
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Ortalama = (48+50+52+54+56+58+60)/7 = 378/7 = 54.
2. Sapmalar: -6,-4,-2,0,2,4,6, kareler toplamı = 36+16+4+0+4+16+36 = 112.
3. Varyans = 112/7 = 16, σ = √16 = 4 gram.
4. Yorum: Ürünlerin ağırlıkları ortalamadan ortalama 4 gram sapma gösterir. Standart sapma küçük olduğu için ürünler tutarlıdır.
Sonuç: σ=4 gram, ürünler tutarlıdır.
📌 GERÇEK HAYAT BAĞLANTISI
Piyasa araştırmaları (ürün tercihleri, müşteri memnuniyeti), anket sonuçları (siyasi eğilimler, toplumsal konular), hava durumu tahminleri (sıcaklık, yağış ortalamaları), bilimsel çalışmalar (deney sonuçlarının analizi), ekonomi (enflasyon, işsizlik, büyüme verileri), sağlık araştırmaları (hastalık yayılımı, ilaç etkinliği), eğitim (başarı analizleri, sınav sonuçları), spor istatistikleri (oyuncu performansları), kalite kontrol (üretim hataları), finans (hisse senedi getirileri, risk analizi).
📌 2. Dönem 2. Yazılı
📖 KONU ÖZETİ (Detaylı)
📌 Olasılık Temel Kavramları:
– Deney: Sonucu belirsiz olan süreç (zar atma, para atma, top çekme).
– Çıktı (Sonuç): Bir deneyin olası tek sonucu (zar için 1,2,3,4,5,6).
– Örnek Uzay (E): Tüm olası çıktıların kümesi.
– Olay: Örnek uzayın herhangi bir alt kümesi (ör: zarın tek gelmesi).
– Olasılık: Bir olayın gerçekleşme ihtimali: P(A) = s(A) / s(E) (eş olasılıklı durumlarda). 0 ≤ P(A) ≤ 1. Tüm olayların olasılıkları toplamı 1’dir. Bir olayın olmama olasılığı (tümleyen) P(A’) = 1 − P(A).
📌 Eş Olasılıklı Durumlar: Her çıktının gerçekleşme şansı eşitse (ör: hilesiz zar, madeni para). Olasılık = (istenen durum sayısı) / (toplam durum sayısı).
📌 Bağımlı ve Bağımsız Olaylar:
– Bağımsız olaylar: Bir olayın sonucu diğerini etkilemez. P(A∩B) = P(A)·P(B) (ör: arka arkaya para atma, zar atma).
– Bağımlı olaylar: Bir olayın sonucu diğerinin olasılığını değiştirir (ör: torbadan iadesiz çekim). Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A∩B) / P(B), P(B) > 0.
📌 Toplama ve Çarpma Kuralları:
– Ayrık olaylar (kesişimleri boş küme): P(A∪B) = P(A) + P(B).
– Ayrık olmayan olaylar: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B).
– Çarpma kuralı (bağımsız): P(A∩B) = P(A)·P(B).
– Çarpma kuralı (bağımlı): P(A∩B) = P(A)·P(B|A).
📌 Permütasyon ve Kombinasyon ile Olasılık:
– Farklı nesnelerin sıralanması (permütasyon) veya seçilmesi (kombinasyon) durumlarında olasılık hesaplanır.
– Örnek: Bir torbadan 3 top çekildiğinde belirli renklerin gelme olasılığı kombinasyon ile hesaplanır.
– Binom olasılığı: n denemede k başarı gelme olasılığı P(X=k) = C(n,k)·p^k·(1-p)^(n-k) (Bernoulli denemeleri).
📌 Beklenen Değer: Bir rastgele değişkenin ortalama değeri. E(X) = Σ xᵢ·P(xᵢ). Şans oyunlarında beklenen kazanç hesaplamalarında kullanılır.
📌 Olasılık Dağılımları: Kesikli ve sürekli olasılık dağılımları. 9. sınıf düzeyinde binom dağılımına giriş yapılabilir.
📌 Gerçek Hayatta Olasılık: Risk analizi, sigorta primleri, hava tahmini, tıbbi teşhis, kalite kontrol, oyun teorisi, finansal yatırımlar.
🎯 Öğrenci Koçu Notu
✨ Taktik: Olasılık hesaplarında önce örnek uzayı (tüm durumları) belirle. Eğer olaylar birbirini etkilemiyorsa bağımsız, etkiliyorsa bağımlıdır. “En az” veya “en çok” ifadeleri varsa tümleyen (1 − istenmeyen) kullanarak çözümü kolaylaştır.
💪 Motivasyon: Sigorta sektörü (risk hesaplama), oyun teorisi (şans oyunları), finans (yatırım riski), tıp (hastalık teşhis olasılığı), meteoroloji (yağmur yağma olasılığı), yapay zeka (karar verme mekanizmaları) – olasılık hayatın her alanında.
📌 Püf Noktası: Zar atma, para atma gibi eş olasılıklı durumlarda sonuçlar eşit olasılıklıdır. Torbadan çekme işleminde “iade edilerek” ve “iade edilmeden” ifadelerine dikkat et! İadesiz çekimde bağımlı olasılık kullanılır.
⚠️ Sık Yapılan Hata: Olasılıkları toplarken kesişim olup olmadığını kontrol etme. Bağımlı olaylarda çarpma kuralını yanlış uygulama (P(A∩B) yerine P(A)·P(B) yazma). “En az bir” sorularında tümleyeni kullanmayı unutma.
🧠 Ezberleme İpucu: P(A) = istenen / tüm. Tümleyen = 1 − P(A). Bağımsız ise çarp, bağımlı ise koşullu kullan. Ayrık ise topla, değilse kesişimi çıkar.
📈 Sınav Taktikleri: Olasılık sorularında şıkları değerlendirirken tahmini sonucu mantıkla kontrol et. Örnek uzayı küçükse listeleyerek çöz. Büyükse kombinasyon/permütasyon formüllerini kullan.
🔍 Derinlemesine Bakış: Olasılık, belirsizlik altında karar verme bilimidir. Günümüzde veri bilimi, makine öğrenmesi, yapay zeka, kuantum fiziği gibi alanların temelini oluşturur. İstatistikle birlikte düşünüldüğünde çok güçlü bir analiz aracıdır.
🥉 SEVİYE 1 – Temel
Soru 1: Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının asal sayı olma olasılığı nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Örnek uzay = {1,2,3,4,5,6}, s(E)=6.
2. Asal sayılar = {2,3,5}, istenen durum sayısı = 3.
3. P = 3/6 = 1/2.
Sonuç: 1/2
Soru 2: Bir torbada 4 kırmızı, 3 mavi, 5 sarı top vardır. Rastgele çekilen bir topun mavi veya sarı olma olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Toplam top sayısı = 4+3+5 = 12.
2. Mavi veya sarı = 3+5 = 8.
3. P = 8/12 = 2/3.
Sonuç: 2/3
Soru 3: Hilesiz bir para atıldığında tura gelme olasılığı nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Örnek uzay = {Yazı, Tura}, s(E)=2.
2. İstenen durum = {Tura}, s=1.
3. P = 1/2.
Sonuç: 1/2
Soru 4: Bir torbada 5 kırmızı, 3 beyaz top vardır. Rastgele çekilen bir topun kırmızı olmama olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Toplam = 8, kırmızı olmayan (beyaz) = 3.
2. P = 3/8.
Sonuç: 3/8
Soru 5: Bir zar atıldığında gelen sayının çift sayı olma olasılığı nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Örnek uzay = {1,2,3,4,5,6}, s=6.
2. Çift sayılar = {2,4,6}, s=3.
3. P = 3/6 = 1/2.
Sonuç: 1/2
Soru 6: Bir torbada 2 mavi, 3 yeşil, 5 kırmızı top vardır. Rastgele bir top çekiliyor. Çekilen topun yeşil veya kırmızı olma olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Toplam = 2+3+5 = 10.
2. Yeşil veya kırmızı = 3+5 = 8.
3. P = 8/10 = 4/5.
Sonuç: 4/5
Soru 7: Bir zar atıldığında gelen sayının 5’ten büyük olma olasılığı nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Örnek uzay = {1,2,3,4,5,6}. 5’ten büyük sayı = {6}, s=1.
2. P = 1/6.
Sonuç: 1/6
Soru 8: Bir torbada 10 top vardır, bunlardan 4’ü kırmızı, 6’sı mavidir. Rastgele bir top çekildiğinde mavi gelme olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. P(mavi) = 6/10 = 3/5.
Sonuç: 3/5
Soru 9: Hilesiz iki para aynı anda atılıyor. İkisinin de tura gelme olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Örnek uzay = {YY, YT, TY, TT}, s=4.
2. İstenen = {TT}, s=1.
3. P = 1/4.
Sonuç: 1/4
Soru 10: Bir torbada 3 kırmızı, 2 mavi top vardır. Rastgele bir top çekiliyor, rengine bakılıp geri atılıyor. Sonra tekrar bir top çekiliyor. İkisinin de kırmızı olma olasılığı nedir?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Her çekimde kırmızı gelme olasılığı = 3/5.
2. İkisi de kırmızı = (3/5) × (3/5) = 9/25.
Sonuç: 9/25
⭐ SEVİYE 2 – Orta
Soru 1: İki zar aynı anda atılıyor. Üst yüze gelen sayıların toplamının 7 olma olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Toplam durum = 6×6 = 36.
2. Toplamı 7 olan durumlar: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) → 6 durum.
3. P = 6/36 = 1/6.
Sonuç: 1/6
Soru 2: Bir torbada 2 kırmızı, 3 mavi top vardır. Çekilen top geri atılmadan art arda iki top çekiliyor. İkisinin de kırmızı olma olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. İlk çekilişte kırmızı gelme olasılığı = 2/5.
2. İlk kırmızı geldikten sonra torbada 1 kırmızı, 3 mavi kalır (toplam 4). İkinci çekilişte kırmızı gelme olasılığı = 1/4.
3. Bileşik olasılık = (2/5) × (1/4) = 2/20 = 1/10.
Sonuç: 1/10
Soru 3: İki zar atılıyor. Üst yüze gelen sayıların toplamının 9 veya 10 olma olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Toplam 36 durum.
2. Toplamı 9: (3,6),(4,5),(5,4),(6,3) → 4 durum.
3. Toplamı 10: (4,6),(5,5),(6,4) → 3 durum.
4. Toplam 7 durum (ayrık olaylar olduğu için toplanır).
5. P = 7/36.
Sonuç: 7/36
Soru 4: Bir torbada 4 beyaz, 3 siyah top vardır. Rastgele 2 top çekiliyor (iadesiz). İkisinin de beyaz olma olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Toplam top = 7. İlk beyaz gelme olasılığı = 4/7.
2. İkinci beyaz gelme olasılığı (iadesiz) = 3/6 = 1/2.
3. Bileşik olasılık = (4/7) × (1/2) = 2/7.
Sonuç: 2/7
Soru 5: Hilesiz bir para 3 kez atılıyor. En az 2 tura gelme olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Toplam durum = 2³ = 8.
2. En az 2 tura: TTY, TYT, YTT, TTT → 4 durum.
3. P = 4/8 = 1/2.
Sonuç: 1/2
Soru 6: Bir torbada 3 kırmızı, 2 mavi top vardır. Çekilen top geri atılmadan 2 top çekiliyor. En az birinin kırmızı olma olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Tüm durum: 2 top çekme (sırasız) = C(5,2) = 10.
2. Hiç kırmızı gelmeme (ikisi de mavi): C(2,2) = 1 durum.
3. En az bir kırmızı = 1 − (hiç kırmızı) = 1 − 1/10 = 9/10.
Sonuç: 9/10
Soru 7: Bir torbada 4 kırmızı, 3 mavi top vardır. Rastgele 3 top çekiliyor (iadesiz). Tam olarak 2 kırmızı, 1 mavi gelme olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Toplam durum: C(7,3) = 35.
2. İstenen durum: 2 kırmızı seçme C(4,2)=6 ve 1 mavi seçme C(3,1)=3 → 6×3=18.
3. Olasılık = 18/35.
Sonuç: 18/35
Soru 8: Hilesiz bir zar 2 kez atılıyor. İki atışın da tek sayı gelme olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Tek sayı gelme olasılığı her atışta = 3/6 = 1/2.
2. İki atış bağımsız olduğu için: (1/2) × (1/2) = 1/4.
Sonuç: 1/4
Soru 9: Bir torbada 5 kırmızı, 5 mavi top vardır. Rastgele 2 top çekiliyor (iadesiz). Renklerinin farklı olma olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Toplam durum: C(10,2) = 45.
2. Renkleri farklı: 1 kırmızı 1 mavi → C(5,1)×C(5,1) = 5×5 = 25.
3. P = 25/45 = 5/9.
Sonuç: 5/9
Soru 10: Bir sınıfta 12 kız, 8 erkek öğrenci vardır. Rastgele seçilen 2 öğrencinin ikisinin de kız olma olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Toplam öğrenci = 20. Tüm durum: C(20,2) = 190.
2. İki kız seçme: C(12,2) = 66.
3. P = 66/190 = 33/95.
Sonuç: 33/95
🔥 SEVİYE 3 – İleri
Soru 1: Bir torbada 3 kırmızı, 2 mavi top vardır. Çekilen top geri atılmadan üç top çekiliyor. En az birinin kırmızı olma olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. “En az bir kırmızı” olayının tümleyeni “hiç kırmızı” yani üçü de mavi.
2. 3 mavi gelme olasılığı: (2/5) × (1/4) × (0/3) = 0 (çünkü 2 mavi top var, üçüncü çekilişte mavi kalmaz).
3. P(en az bir kırmızı) = 1 − 0 = 1.
Sonuç: 1 (kesin olay)
Soru 2: Hilesiz bir para 4 kez atılıyor. En az 3 tura gelme olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Toplam durum = 2⁴ = 16.
2. En az 3 tura: 3 tura + 1 yazı: C(4,3) = 4 durum; 4 tura: C(4,4) = 1 durum → toplam 5.
3. P = 5/16.
Sonuç: 5/16
Soru 3: Bir torbada 4 kırmızı, 3 mavi top vardır. Rastgele 3 top çekiliyor (iadesiz). En az 2 kırmızı gelme olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Toplam durum: C(7,3) = 35.
2. Tam 2 kırmızı + 1 mavi: C(4,2)×C(3,1) = 6×3 = 18.
3. Tam 3 kırmızı: C(4,3)×C(3,0) = 4×1 = 4.
4. Toplam istenen = 18+4 = 22. P = 22/35.
Sonuç: 22/35
Soru 4: İki zar atılıyor. Üst yüze gelen sayıların çarpımının çift olma olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Çarpımın tek olması için her iki zarın da tek gelmesi gerekir.
2. Tek gelme olasılığı = 3/6 = 1/2. İkisi de tek = (1/2)×(1/2) = 1/4.
3. Çarpımın çift olma olasılığı = 1 − 1/4 = 3/4.
Sonuç: 3/4
Soru 5: Bir torbada 2 kırmızı, 3 mavi, 4 sarı top vardır. Rastgele 3 top çekiliyor (iadesiz). Üçünün de farklı renkte olma olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Toplam top = 2+3+4 = 9. Tüm durum: C(9,3) = 84.
2. Farklı renkler: 1 kırmızı, 1 mavi, 1 sarı → C(2,1)×C(3,1)×C(4,1) = 2×3×4 = 24.
3. P = 24/84 = 2/7.
Sonuç: 2/7
Soru 6: Hilesiz bir zar 3 kez atılıyor. En az bir kez 6 gelme olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Hiç 6 gelmeme olasılığı = (5/6)³ = 125/216.
2. En az bir 6 gelme = 1 − 125/216 = 91/216.
Sonuç: 91/216
Soru 7: Bir kutuda 4 beyaz, 3 siyah top vardır. Rastgele 2 top çekiliyor (iadesiz). Çekilen topların ikisinin de siyah olması koşuluyla, ilk çekilen topun beyaz olma olasılığı nedir? (Koşullu olasılık)
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Soru: P(ilk beyaz | ikisi de siyah)? Ancak ikisi de siyah ise ilk top siyah olmalı, beyaz olamaz. Bu nedenle olasılık 0’dır.
2. Mantıksal olarak, siyah çiftinde ilk top siyahtır.
Sonuç: 0
Soru 8: Bir torbada 5 kırmızı, 3 mavi top vardır. Rastgele 2 top çekiliyor (iadesiz). Çekilen toplardan birinin kırmızı diğerinin mavi olma olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Toplam durum: C(8,2) = 28.
2. 1 kırmızı + 1 mavi: C(5,1)×C(3,1) = 5×3 = 15.
3. P = 15/28.
Sonuç: 15/28
Soru 9: Hilesiz bir zar 2 kez atılıyor. Toplamın 8’den büyük olma olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Toplam 36 durum.
2. 8’den büyük toplamlar: 9,10,11,12.
3. Toplam 9: 4 durum, 10: 3, 11: 2, 12: 1 → toplam 10 durum.
4. P = 10/36 = 5/18.
Sonuç: 5/18
Soru 10: Bir torbada 3 kırmızı, 2 beyaz, 1 siyah top vardır. Rastgele 2 top çekiliyor (iadesiz). En az birinin beyaz olma olasılığı kaçtır?
📝 Kapsamlı Çözüm
1. Toplam top = 6. Tüm durum: C(6,2) = 15.
2. Hiç beyaz gelmeme (ikisi de kırmızı veya siyah): beyaz olmayan top sayısı = 3+1=4. C(4,2) = 6 durum.
3. En az bir beyaz = 1 − 6/15 = 9/15 = 3/5.
Sonuç: 3/5
📌 GERÇEK HAYAT BAĞLANTISI
Sigorta sektörü (risk hesaplama, prim belirleme), oyun teorisi (şans oyunları, poker, blackjack), finans (yatırım riski, opsiyon fiyatlama), tıp (hastalık teşhis olasılığı, test doğruluğu), meteoroloji (yağmur yağma olasılığı, hava tahmini), istatistiksel tahminler (seçim anketleri, piyasa araştırmaları), yapay zeka (karar verme, olasılıksal modeller), spor (maç sonucu tahminleri), günlük hayatta karar verme (alternatifler arasında seçim yapma).
📌 Sayılar, Denklemler ve Eşitsizlikler
📌 Sınav Süresi: 40 dakika
📌 10 açık uçlu soru – Her sorunun çözümünü adım adım gösteriniz.
Aşağıdaki sayıları küçükten büyüğe sıralayınız: 2/3, 3/4, 5/8, 7/12.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 7/12 < 5/8 < 2/3 < 3/4
Bir sayının 5 eksiğinin 2 katı 16’dır. Bu sayı kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 13
2ˣ = 32 ise x kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 5
√49 + √64 işleminin sonucu kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 15
3(x – 2) = 2(x + 1) denklemini çözünüz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: x = 8
Bir sayının 3 katının 5 eksiği 25’ten küçük değildir. Bu sayının en küçük tam sayı değeri kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 10
0,006 sayısını bilimsel gösterimle yazınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 6 × 10⁻³
√72 + √50 – √98 işleminin sonucu kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 4√2
2x – 3y = 12 ve x = 2y olduğuna göre y kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: y = 12
(2√3)² işleminin sonucu kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 12
📌 Sayılar, Denklemler ve Eşitsizlikler
📌 Sınav Süresi: 40 dakika
📌 10 açık uçlu soru – Her sorunun çözümünü adım adım gösteriniz.
x = 1,2 · 10⁴ ve y = 3,4 · 10³ olduğuna göre x – y işleminin sonucunu bilimsel gösterimle yazınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 8,6 × 10³
(x – 3)(x + 5) çarpımını yapınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: x² + 2x – 15
3x – 5 = 7 – 2x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: {12/5}
İki sayının toplamı 48, farkı 12’dir. Bu sayıları bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 30 ve 18
|x – 3| = 5 denklemini sağlayan x değerlerini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: x = 8 veya x = –2
a = √8, b = √18 olduğuna göre a + b işleminin sonucunu bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 5√2
(2⁵ × 3³) / (2³ × 3) işleminin sonucu kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 36
3(2x – 1) ≤ 2(x + 4) eşitsizliğini çözünüz ve sayı doğrusunda gösteriniz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: x ≤ 11/4
0,000000045 sayısını bilimsel gösterimle yazınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 4,5 × 10⁻⁸
Bir manav, elmaların 2/5’ini sattıktan sonra geriye 45 kg elma kalıyor. Manavın başlangıçta kaç kg elma vardı?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 75 kg
📌 Karma Sayı Problemleri, Denklem Sistemleri, Mutlak Değer
📌 Sınav Süresi: 40 dakika
📌 10 açık uçlu soru – Her sorunun çözümünü adım adım gösteriniz.
A = 2⁵⁰, B = 4²⁵, C = 8¹⁶ ifadelerini küçükten büyüğe sıralayınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: C < A = B
x ve y birer tam sayı olmak üzere |x – 2| + |y + 3| = 0 ise x + y kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: –1
Ali’nin yaşının 2 katı, Ayşe’nin yaşının 3 katına eşittir. 6 yıl sonra ikisinin yaşları toplamı 37 olacağına göre Ali’nin şimdiki yaşı kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: Ali 15 yaşında
(x – 1)(x + 2) = (x + 3)(x – 4) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: {–5}
√(48) – √(12) + √(75) işleminin sonucunu bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 7√3
x ≤ 6 olmak üzere 3x – 2 > 7 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 15
Bir annenin yaşı, kızının yaşının 4 katıdır. 5 yıl sonra annenin yaşı, kızının yaşının 3 katından 2 fazla olacağına göre kızın şimdiki yaşı kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: Kız 12 yaşında
a ve b birer pozitif tam sayıdır. a³ = 125, b² = 81 ise a + b kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 14
Bir otomobil 80 km/sa hızla 3 saat, 100 km/sa hızla 2 saat yol alıyor. Ortalama hızı kaç km/sa’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 88 km/sa
Bir sınıftaki öğrencilerin sayısı 40 ile 50 arasındadır. Öğrenciler 4’erli, 5’erli ve 6’şarlı gruplandığında her seferinde 2 öğrenci artıyor. Sınıf mevcudu kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Not: EKOK=60 olduğundan sınıf mevcudu 60’tan küçük olamaz.
📌 Algoritma (Örüntüler), Üçgenler
📌 Sınav Süresi: 40 dakika
📌 10 açık uçlu soru – Her sorunun çözümünü adım adım gösteriniz.
Bir örüntünün kuralı “2n + 3” ile verilmiştir. Örüntünün ilk 5 terimini yazınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 5, 7, 9, 11, 13
Aşağıdaki örüntünün kuralını bulunuz: 2, 5, 8, 11, …
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 3n – 1
Bir üçgenin iç açıları 30°, 60° ve 90°’dir. Bu üçgenin türü nedir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: Dik üçgen
Bir üçgenin kenar uzunlukları 7 cm, 9 cm ve 12 cm’dir. Bu üçgenin oluşup oluşmayacağını belirtiniz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: Oluşur
Bir eşkenar üçgenin çevresi 36 cm ise bir kenar uzunluğu kaç cm’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 12 cm
Bir üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. Bu ifadeyi bir örnekle açıklayınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: Açıklama yapıldı.
Bir ikizkenar üçgenin tepe açısı 40° ise taban açılarından biri kaç derecedir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 70°
Bir üçgende iki kenar uzunluğu 6 cm ve 10 cm’dir. Üçüncü kenarın uzunluğu en fazla kaç cm olabilir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 15 cm
3, 7, 11, 15, … örüntüsünün 20. terimi kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 79
Bir dik üçgende dik kenarlar 5 cm ve 12 cm ise hipotenüs kaç cm’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 13 cm
📌 Algoritma (Örüntüler), Üçgenler, Pisagor
📌 Sınav Süresi: 40 dakika
📌 10 açık uçlu soru – Her sorunun çözümünü adım adım gösteriniz.
Bir örüntünün adım sayısı ile terim arasındaki ilişki tabloda verilmiştir: Adım (n):1→4, 2→7, 3→10, 4→13. Örüntünün kuralını bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 3n + 1
Bir örüntüde ilk terim 2, ikinci terim 5, üçüncü terim 10, dördüncü terim 17 ise beşinci terim kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 26
Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri 2, 3 ve 4 ile orantılıdır. En büyük açı kaç derecedir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 80°
Bir dik üçgende hipotenüs 17 cm, bir dik kenar 15 cm ise diğer dik kenar kaç cm’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 8 cm
Bir ikizkenar üçgenin taban açılarından biri 50° ise tepe açısı kaç derecedir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 80°
Bir üçgenin iki dış açısı 110° ve 140° ise üçüncü dış açı kaç derecedir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 110°
Şekildeki ABC üçgeninde m(A) = 2x + 10°, m(B) = 3x – 5°, m(C) = x + 15° ise x kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: x = 80/3
Bir üçgenin kenar uzunlukları 6, 8 ve 10’dur. Bu üçgenin alanı kaç cm²’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 24 cm²
Bir eşkenar üçgenin yüksekliği 6√3 cm ise bir kenar uzunluğu kaç cm’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 12 cm
Bir dik üçgende hipotenüs 25 cm, diğer kenarlardan biri diğerinin 2 katıdır. Kısa kenar kaç cm’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 5√5 cm
📌 Karma Geometri, Örüntü Problemleri, Trigonometriye Giriş
📌 Sınav Süresi: 40 dakika
📌 10 açık uçlu soru – Her sorunun çözümünü adım adım gösteriniz.
Bir örüntünün kuralı n² + 1 ile verilmektedir. Bu örüntünün ilk 5 terimini yazınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 2, 5, 10, 17, 26
Bir üçgende a = 8 cm, b = 15 cm, c = 17 cm ise üçgenin türünü belirleyiniz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: Dik üçgen
Şekildeki ABCD karesinin bir kenarı 10 cm’dir. |BD| köşegeni kaç cm’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 10√2 cm
Bir üçgenin kenar uzunlukları 5, 6 ve 7’dir. En büyük açının karşısındaki kenar hangisidir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 7 cm’lik kenar
Bir üçgenin iç açıları (x + 30)°, (2x – 10)° ve (3x + 10)°’dir. x kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: x = 25
Bir dik üçgenin eğimi 4/5’tir. Dik kenarlardan biri 8 cm ise hipotenüsü kaç cm’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 2√41 cm
Bir örüntüde ilk terim a₁ = 3 ve aₙ = aₙ₋₁ + 4 olarak tanımlanıyor. a₁₀ kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 39
Bir ikizkenar üçgende eşit kenarlardan biri 13 cm, taban 10 cm ise üçgenin yüksekliği kaç cm’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 12 cm
Şekilde ABC bir dik üçgen olup AB = 5 cm, AC = 12 cm’dir. [BC] kenarına ait yükseklik kaç cm’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 60/13 cm
Bir örüntüde terimler 2, 6, 12, 20, … şeklinde veriliyor. 20. terim ile 10. terim arasındaki fark kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 310
📌 Eşlik, Benzerlik, Trigonometri
📌 Sınav Süresi: 40 dakika
📌 10 açık uçlu soru – Her sorunun çözümünü adım adım gösteriniz.
Kenar uzunlukları 4 cm, 6 cm, 8 cm olan üçgen ile kenar uzunlukları 6 cm, 9 cm, 12 cm olan üçgen benzer midir? Açıklayınız.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: Evet, benzer (benzerlik oranı 2/3)
Bir ABC üçgeni ile DEF üçgeni eştir. AB = 7 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm ise DEF üçgeninin çevresi kaç cm’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 25 cm
Bir dik üçgende bir dar açının sinüsü 3/5 ise, bu açının karşısındaki kenarın hipotenüse oranı kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 3/5
Bir dik üçgende bir dar açının kosinüs değeri 0,8 ise bu açının bitişiğindeki dik kenarın hipotenüse oranı kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 4/5
Kenar uzunlukları 3, 4, 5 olan üçgen ile kenar uzunlukları 6, 8, 10 olan üçgenin benzerlik oranı kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 1/2
Sin 30° değeri kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 1/2
Cos 60° değeri kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 1/2
Tan 45° değeri kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 1
Bir dik üçgende hipotenüs 10 cm, bir dar açının sinüsü 0,6 ise bu açının karşısındaki kenar kaç cm’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 6 cm
Bir dik üçgende bir dar açının tanjantı 4/3 ise, bu açının komşu kenarı 6 cm ise karşı kenar kaç cm’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 8 cm
📌 Eşlik, Benzerlik, Trigonometri Problemleri
📌 Sınav Süresi: 40 dakika
📌 10 açık uçlu soru – Her sorunun çözümünü adım adım gösteriniz.
Bir ABC üçgeninde DE // BC, |AD|=3 cm, |DB|=6 cm, |AE|=4 cm ise |EC| kaç cm’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 8 cm
Bir dik üçgende bir dar açının sinüsü 5/13 ise bu açının tanjantını bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 5/12
Bir ABC üçgeninde ∠A = ∠D, ∠B = ∠E ve AB = 6 cm, DE = 9 cm, BC = 8 cm ise EF kaç cm’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 12 cm
Bir dik üçgende, bir açının sinüsü 0,8 ve komşu kenar 6 cm ise hipotenüsü kaç cm’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 10 cm
ABC ve DEF üçgenleri benzerdir. Alanları oranı 9/16 ise çevreleri oranı kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 3/4
Sin 60° + Cos 30° işleminin sonucu kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: √3
Bir dik üçgende hipotenüs 25 cm, bir dar açının tanjantı 3/4 ise dik kenarların uzunluklarını bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 15 cm ve 20 cm
Bir üçgende kenar uzunlukları 5, 12, 13 ise 12’nin karşısındaki açının sinüs değeri kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 12/13
Bir dik üçgende bir dar açının kosinüsü 0,6 ve hipotenüs 20 cm ise bu açının karşısındaki kenar kaç cm’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 16 cm
Bir binanın gölgesi 12 metre, güneş ışınlarının yere yaptığı açı 60° olduğuna göre binanın boyu kaç metredir? (√3≈1,73)
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 12√3 metre (≈20,78 m)
📌 Karma Trigonometri, Benzerlik ve Problemler
📌 Sınav Süresi: 40 dakika
📌 10 açık uçlu soru – Her sorunun çözümünü adım adım gösteriniz.
Bir ABC üçgeninde [DE] // [BC], |AD| = 4 cm, |DB| = 6 cm, |AE| = x+2, |EC| = 2x–1 ise x kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: x = 8
Bir dik üçgende sin α = 3/5 ise (cos α + tan α) değeri kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 31/20
Bir dik üçgende bir dar açının tanjantı 2,4’tür. Hipotenüs 26 cm ise dik kenarların uzunluklarını bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 24 cm ve 10 cm
Şekilde ABC bir dik üçgen, [AD] açıortay, AB=8 cm, AC=15 cm ise |BD| kaç cm’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 136/23 cm
Bir üçgende kenar uzunlukları 6, 8 ve 10’dur. En küçük açının tanjantını bulunuz.
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 3/4
Birbirine benzer iki üçgenin kenar uzunlukları 4,5,6 ve 8,10,x ise x kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 12
Sin² 30° + Cos² 30° işleminin sonucu kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 1
Bir dik üçgende bir dar açının sinüsü 0,8 ve bu açının karşısındaki kenar 12 cm ise hipotenüs kaç cm’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 15 cm
Bir üçgende iki kenar 6 cm ve 8 cm, bu kenarlar arasındaki açı 60° ise üçüncü kenarın uzunluğu kaç cm’dir? (Cos 60°=0,5)
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 2√13 cm
Bir ağaç, güneş ışınları ile 60°’lik açı yaptığında gölgesi 8 metre ise ağacın boyu kaç metredir? (√3≈1,73)
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 8√3 m (≈13,84 m)
📌 Çokgenler, Alan Hesapları, Olasılık
📌 Sınav Süresi: 40 dakika
📌 10 açık uçlu soru – Her sorunun çözümünü adım adım gösteriniz.
Bir altıgenin iç açıları toplamı kaç derecedir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 720°
Bir düzgün beşgenin bir dış açısı kaç derecedir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 72°
Bir karenin bir kenarı 8 cm ise alanı kaç cm²’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 64 cm²
Bir dikdörtgenin uzun kenarı 12 cm, kısa kenarı 5 cm ise alanı kaç cm²’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 60 cm²
Bir üçgenin tabanı 10 cm, yüksekliği 6 cm ise alanı kaç cm²’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 30 cm²
Bir dairenin yarıçapı 7 cm ise alanı kaç cm²’dir? (π=22/7 alınız.)
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 154 cm²
Hilesiz bir zar atıldığında üst yüze 4 gelme olasılığı kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 1/6
Bir torbada 3 kırmızı, 5 mavi, 2 beyaz top vardır. Rastgele çekilen bir topun mavi olma olasılığı kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 1/2
Bir altıgenin bir iç açısının ölçüsü (düzgün altıgen için) kaç derecedir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 120°
Bir dörtgenin iç açıları toplamı kaç derecedir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 360°
📌 Çokgenler, Alan Hesapları, Olasılık
📌 Sınav Süresi: 40 dakika
📌 10 açık uçlu soru – Her sorunun çözümünü adım adım gösteriniz.
Bir dış açısı 30° olan düzgün çokgen kaç kenarlıdır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 12 kenarlı
Bir yamukta alt taban 15 cm, üst taban 9 cm, yükseklik 8 cm ise alanı kaç cm²’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 96 cm²
Bir paralelkenarın tabanı 12 cm, yüksekliği 7 cm ise alanı kaç cm²’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 84 cm²
Bir üçgenin çevresi 24 cm, benzer üçgenin benzerlik oranı 1/3 ise küçük üçgenin çevresi kaç cm’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 8 cm
Bir torbada 4 sarı, 5 kırmızı, 3 yeşil bilye vardır. Rastgele çekilen bir bilyenin sarı veya kırmızı olma olasılığı kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 3/4
Bir daire diliminin yarıçapı 6 cm, merkez açısı 60° ise alanı kaç cm²’dir? (π=3 alınız.)
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 18 cm²
Bir düzgün sekizgenin bir iç açısı kaç derecedir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 135°
İki zar birlikte atıldığında üst yüze gelen sayıların toplamının 7 olma olasılığı kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 1/6
Bir dikdörtgenin alanı 72 cm², bir kenarı 8 cm ise diğer kenarı kaç cm’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 9 cm
Bir üçgenin alanı 36 cm², tabanı 9 cm ise yüksekliği kaç cm’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 8 cm
📌 Karma Çokgen, Alan, Olasılık Problemleri
📌 Sınav Süresi: 40 dakika
📌 10 açık uçlu soru – Her sorunun çözümünü adım adım gösteriniz.
Bir düzgün çokgenin bir iç açısı 156° ise kenar sayısı kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 15 kenarlı
Bir yamuğun orta tabanı 12 cm, yüksekliği 10 cm ise alanı kaç cm²’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 120 cm²
Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri 10 cm ve 24 cm ise alanı kaç cm²’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 120 cm²
Bir kenar uzunluğu 6 cm olan düzgün altıgenin alanı kaç cm²’dir? (√3≈1,73)
📝 Çözümü Göster
Sonuç: ≈93,42 cm²
Bir torbada 5 mavi, 7 kırmızı, 3 sarı top vardır. Torbadan rastgele çekilen bir topun kırmızı veya sarı olma olasılığı kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 2/3
Bir dairenin çevresi 12π cm ise alanı kaç cm²’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 36π cm²
Bir okulda yapılan ankete göre öğrencilerin %40’ı mavi, %35’i yeşil, %25’i kırmızı rengi seviyor. 200 öğrenciye bu anket yapıldığında mavi sevenlerin sayısı kaçtır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 80 öğrenci
Bir düzgün çokgenin bir dış açısı 24° ise kaç kenarlıdır?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 15 kenarlı
Bir üçgenin köşe koordinatları A(0,0), B(6,0), C(0,8) ise alanı kaç br²’dir?
📝 Çözümü Göster
Sonuç: 24 br²
Bir kenarı 5 cm olan eşkenar üçgenin alanını bulunuz. (√3≈1,73)
📝 Çözümü Göster
Sonuç: ≈10,81 cm²
🎯 9. Sınıf Matematik Yazılıya Hazırlık – MEB Senaryolarına Uygun Deneme Sınavları
📝 Toplam 12 deneme ve yüzlerce açık uçlu, çözümlü soru ile yazılılara tam hazırlık.
📖 Tüm hakları saklıdır – 9. Sınıf Matematik Yazılıya Hazırlık
